Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Ви хочете довести (b ∨ c) → a від супротивного. Яке твердження ви припускаєте на початку? Клікніть його.
(b ∨ c) → a
1¬(b ∨ c) ∧ a
2(b ∨ c) ∧ ¬a
3¬(b ∨ c) → ¬a
4¬(b ∨ c) ∧ ¬a
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Яке твердження еквівалентне ¬∃x (A(x) ∧ B(x)), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.
¬∃x (A(x) ∧ B(x))
1∀x (A(x) → ¬B(x))
2∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
3∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
4∃x (A(x) → ¬B(x))
3.Множини, відношення та функціїСередня
Опитування 31 осіб показує, що 15 мають ноутбук (L), 21 мають планшет (T), а 6 мають і те, і те. Скільки входять рівно до однієї з двох множин?
|U| = 31|L| = 15|T| = 21|L ∩ T| = 6
|(L − T) ∪ (T − L)| =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
На X = {1, 2, …, 15} відношення R виконується, коли x ≡ y (mod 5). Скільки впорядкованих пар містить R? Позначте це число |R|.
X = {1, …, 15}x R y ⟺ 5 | (x − y)
|R| =
5.Теорія графівСередня
Зв’язний граф має 14 вершин і 22 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?
|V| = 14|E| = 22
k =
6.Теорія графівСкладна
Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.
|V| = 7|E| = 11
W =
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Розв’яжіть 5x ≡ 9 (mod 13). Дайте розв’язок x, де 0 < x < 13.
5x ≡ 9 (mod 13)
x =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Скористайтеся повторним піднесенням до квадрата, щоб знайти 1880 mod 31.
a = 18k = 80n = 31
1880 mod 31 =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: (b ∨ c) ∧ ¬a
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Частини імплікації
a = b ∨ c, b = a
Заперечення імплікації
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (b ∨ c) ∧ ¬a
Відповідь
(b ∨ c) ∧ ¬a
Якщо припущення веде до суперечності, імплікація має бути істинною.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ∀x (A(x) → ¬B(x))
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Перенесіть заперечення досередини
¬∃x (A(x) ∧ B(x)) ≡ ∀x (A(x) → ¬B(x))
Відповідь
∀x (A(x) → ¬B(x))
Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: |(L − T) ∪ (T − L)| = 24
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Області
L ∩ T: 6
L − T: 15 − 6 = 9
T − L: 21 − 6 = 15
(L ∪ T)′: 31 − (9 + 15 + 6) = 1
Відповідь
|(L − T) ∪ (T − L)| = 24
Відповідь
|(L − T) ∪ (T − L)| = 24
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: |R| = 45
Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.
Класи
залишок 0: 3
залишок 1: 3
залишок 2: 3
залишок 3: 3
залишок 4: 3
Пари
|R| = 3² + 3² + 3² + 3² + 3² = 45
Відповідь
|R| = 45
5.Теорія графів
Відповідь: k = 9
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Ребра остовного дерева
14 − 1 = 13
Ребра для вилучення
k = 22 − 13 = 9
Відповідь
k = 9
6.Теорія графів
Відповідь: W = 38
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Крускала
GD (1): взяти
AB (2): взяти
DE (3): взяти
AC (6): взяти
GE (8): пропустити, замикає цикл
GC (12): взяти
DF (14): взяти
Загальна вага
W = 1 + 2 + 3 + 6 + 12 + 14 = 38
Відповідь
W = 38
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: x = 7
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Обернений до 5
r = 13, t = 0
r = 5, q = 2, t = 1
r = 3, q = 1, t = −2
r = 2, q = 1, t = 3
r = 1, q = 2, t = −5
5−1 ≡ 8 (mod 13)
Розв’яжіть
x ≡ 8·9 = 72 ≡ 7 (mod 13)
перевірка: 5·7 = 35 ≡ 9 (mod 13)
Відповідь
x = 7
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 1880 mod 31 = 25
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.