Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Чи є (q ∧ (q → r)) → r тавтологією, суперечністю чи випадковою формулою? Клікніть свою відповідь.
(q ∧ (q → r)) → r
1тавтологія
2суперечність
3випадкова формула
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Скільки з 16 рядків таблиці істинності роблять (r ∧ (s → q)) ∧ ((¬p → ¬q) ∧ r) істинним? Позначте це число N.
(r ∧ (s → q)) ∧ ((¬p → ¬q) ∧ r)
N =
3.Множини, відношення та функціїСередня
Опитування 57 осіб показує, що 27 мають ноутбук (L), 25 мають планшет (T), а 6 мають і те, і те. Скільки входять принаймні до однієї з двох множин?
|U| = 57|L| = 27|T| = 25|L ∩ T| = 6
|L ∪ T| =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Функції f і g на {1, 2, 3, 4, 5} задано таблицями. Знайдіть (f ∘ g)(3).
Зв’язний граф має 12 вершин і 23 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?
|V| = 12|E| = 23
k =
6.Теорія графівСкладна
Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини C. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2.
початок: Ck = 2
1ребро AB
2ребро AC
3ребро BC
4ребро BD
5ребро CE
6ребро DE
7ребро EF
8ребро BE
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть обернений до 44 за модулем 71: число x, де 0 < x < 71 і 44·x ≡ 1 (mod 71).
a = 44n = 71
44−1 mod 71 =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Ключ RSA використовує прості числа p = 5 і q = 37 та відкритий показник e = 7. Знайдіть закритий показник d (0 < d < φ(n)).
p = 5q = 37e = 7
d =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: тавтологія
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Таблиця істинності рядок за рядком
q = 1, r = 1: q → r = 1, q ∧ (q → r) = 1, (q ∧ (q → r)) → r = 1
q = 1, r = 0: q → r = 0, q ∧ (q → r) = 0, (q ∧ (q → r)) → r = 1
q = 0, r = 1: q → r = 1, q ∧ (q → r) = 0, (q ∧ (q → r)) → r = 1
q = 0, r = 0: q → r = 1, q ∧ (q → r) = 0, (q ∧ (q → r)) → r = 1
Класифікуйте
(q ∧ (q → r)) → r: 1, 1, 1, 1
1 у кожному рядку: тавтологія.
Відповідь
тавтологія
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: N = 4
Таблиці істинності: формула з n різними змінними має 2ⁿ рядків, по одному для кожної комбінації значень істинності (1 = істина, 0 = хибність). Працюйте зсередини назовні й дайте кожній підформулі власний стовпець. ¬a змінює значення; a ∧ b дорівнює 1 лише тоді, коли обидва дорівнюють 1; a ∨ b дорівнює 0 лише тоді, коли обидва дорівнюють 0; a → b дорівнює 0 лише тоді, коли a = 1 і b = 0; a ↔ b дорівнює 1, коли обидві частини рівні.
Стовпці
s → q; r ∧ (s → q); ¬p; ¬q; ¬p → ¬q; (¬p → ¬q) ∧ r; (r ∧ (s → q)) ∧ ((¬p → ¬q) ∧ r)
Розділення за p
p = 1: 3
p = 0: 1
N = 3 + 1 = 4
Відповідь
N = 4
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: |L ∪ T| = 46
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Області
L ∩ T: 6
L − T: 27 − 6 = 21
T − L: 25 − 6 = 19
(L ∪ T)′: 57 − (21 + 19 + 6) = 11
Відповідь
|L ∪ T| = 46
Відповідь
|L ∪ T| = 46
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: (f ∘ g)(3) = 1
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Внутрішня функція
g(3) = 3
Зовнішня функція
f(3) = 1
(f ∘ g)(3) = 1
Відповідь
(f ∘ g)(3) = 1
5.Теорія графів
Відповідь: k = 12
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Ребра остовного дерева
12 − 1 = 11
Ребра для вилучення
k = 23 − 11 = 12
Відповідь
k = 12
6.Теорія графів
Відповідь: ребро AB
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Пріма
1. AC (4)
2. AB (10)
3. BE (8)
4. DE (2)
5. EF (14)
номер ребра 2
AB
Відповідь
ребро AB
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 44−1 mod 71 = 21
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Розширений алгоритм Евкліда
Кожен залишок r записується як r ≡ t·44 (mod 71).
r = 71, t = 0
r = 44, q = 1, t = 1
r = 27, q = 1, t = −1
r = 17, q = 1, t = 2
r = 10, q = 1, t = −3
r = 7, q = 1, t = 5
r = 3, q = 2, t = −8
r = 1, q = 3, t = 21
Обернена
1 ≡ 21·44 (mod 71)
x = 21
перевірка: 44·21 = 924 = 13·71 + 1
Відповідь
44−1 mod 71 = 21
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: d = 103
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.