Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Ви хочете довести ¬q → p від супротивного. Яке твердження ви припускаєте на початку? Клікніть його.
¬q → p
1¬¬q ∧ ¬p
2¬¬q → ¬p
3¬¬q ∧ p
4¬q ∧ ¬p
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Яке твердження еквівалентне ¬∀x (F(x) → G(x)), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.
¬∀x (F(x) → G(x))
1∃x (F(x) → ¬G(x))
2∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
3∃x (¬F(x) ∧ G(x))
4∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
3.Множини, відношення та функціїСередня
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (4, 2)} — відношення на {1, 2, 3, 4}. Яке найменше число k впорядкованих пар треба додати до R, щоб воно стало транзитивним (розмір транзитивного замикання мінус |R|)?
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (4, 2)}
k =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Відношення еквівалентності R на {1, …, 8} має класи {1}, {2, 3, 5, 7}, {6, 8}, {4}. Скільки впорядкованих пар містить R? Позначте це число |R|.
{1}{2, 3, 5, 7}{6, 8}{4}
|R| =
5.Теорія графівСередня
Дерево має 3 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?
3 × deg 33 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.
|V| = 7|E| = 10
W =
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть обернений до 25 за модулем 71: число x, де 0 < x < 71 і 25·x ≡ 1 (mod 71).
a = 25n = 71
25−1 mod 71 =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Зашифруйте повідомлення m = 301 відкритим ключем RSA (n, e) = (407, 11). Знайдіть шифротекст c.
n = 407e = 11m = 301
c =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ¬q ∧ ¬p
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Частини імплікації
a = ¬q, b = p
Заперечення імплікації
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬q ∧ ¬p
Відповідь
¬q ∧ ¬p
Якщо припущення веде до суперечності, імплікація має бути істинною.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Перенесіть заперечення досередини
¬∀x (F(x) → G(x)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
Відповідь
∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: k = 5
Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.
Пари для додавання
{(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 3)}
Порахуйте
k = 5
Відповідь
k = 5
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: |R| = 22
Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.
Пари на клас
|R| = 1² + 4² + 2² + 1² = 22
Відповідь
|R| = 22
5.Теорія графів
Відповідь: L = 5
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Лема про рукостискання для дерева
L + 15 = 2(L + 6) − 2
L = 5
Відповідь
L = 5
Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.
6.Теорія графів
Відповідь: W = 41
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Крускала
DF (1): взяти
BD (3): взяти
EF (6): взяти
GE (7): взяти
BC (9): взяти
DE (12): пропустити, замикає цикл
AB (15): взяти
Загальна вага
W = 1 + 3 + 6 + 7 + 9 + 15 = 41
Відповідь
W = 41
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 25−1 mod 71 = 54
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Розширений алгоритм Евкліда
Кожен залишок r записується як r ≡ t·25 (mod 71).
r = 71, t = 0
r = 25, q = 2, t = 1
r = 21, q = 1, t = −2
r = 4, q = 5, t = 3
r = 1, q = 4, t = −17
Обернена
1 ≡ −17·25 (mod 71)
x = 54
перевірка: 25·54 = 1350 = 19·71 + 1
Відповідь
25−1 mod 71 = 54
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: c = 224
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.