Основи електротехніки: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​15 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 Ω
Req = Ω
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​25 ΩAR4​4 ΩBR6​6 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 25 ΩR3 = 15 ΩR4 = 4 ΩR5 = 12 ΩR6 = 6 Ω
IR1 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 ΩIR3​+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​15 ΩBIs​1 A

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти струм IR3 через R3 у напрямку стрілки.

V1 = 9 VIs = 1 AR1 = 4 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 15 Ω
IR3 = A
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 5 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​36 VR3​4 ΩAR5​4 ΩBIs​1 A+−V2​15 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти вузлову напругу VB (відносно землі).

V1 = 36 VIs = 1 AV2 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 ΩR5 = 4 Ω
VB = V
5.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 5 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAab

Знайдіть опір Тевенена Rth з боку затискачів a–b.

V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 Ω
Rth = Ω
6.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAIs​6 ABab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 18 VIs = 6 AR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
7.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​5 Vt = 0R = 47 ΩL150 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу vL на котушці в момент t = 5 ms.

Vs = 5 VR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms
vL = V
8.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​30 Vрозмикається при t = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 4,7 kΩC33 µF+−vC​

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 400 ms.

Vs = 30 VR1 = 6,8 kΩR2 = 4,7 kΩC = 33 µFt = 400 ms
vC = V
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
50 V200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 4,7 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
P = W
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
10 V200 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть резонансну частоту f0 кола.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF
f0 = Hz
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
240 VZ24 + j7 ΩI

Навантаження з повним опором Z = 24 + j7 Ω під’єднано до однофазної мережі 240 V (діюче значення). Знайдіть реактивну потужність Q, яку воно споживає.

V = 240 VZ = 24 + j7 Ω
Q = var
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
10 V60 HzRs​ = 25 ΩXs​ = j3 ΩZL​ = ?

Джерело 10 V (діюче значення), 60 Hz має внутрішній опір Zs = 25 + j3 Ω. Опір навантаження ZL можна вибирати довільно. Знайдіть максимальну активну потужність Pmax, яку можна передати навантаженню.

Vs = 10 V (rms)f = 60 HzZs = 25 + j3 Ω
Pmax = W
13.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 480 VZ = 9 + j12 Ωна фазу

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 9 + j12 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 480 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

VL = 480 VZ = 9 + j12 Ω на фазу
P = kW
14.Трифазні системиСкладна
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симетричне трифазне навантаження споживає 100 kW при коефіцієнті потужності 0,78 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,98 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 100 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаториСередня
10 ΩN1​N2​160 Ω

Підсилювач з вихідним опором 160 Ω живить гучномовець 10 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 160 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

Rs = 160 ΩRL = 10 Ω
a =
16.ТрансформаториСкладна
50 kVA

Однофазний трансформатор 50 kVA має втрати в сталі 250 W і втрати в міді 500 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні Sη,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 50 kVAPcore = 250 WPcu,fl = 500 W
Sη,max = kVA

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 8,484 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 5 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​24 VR2​4 ΩAR4​15 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 12 + 15 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 4·27/(4+27) = 3,484 Ω
Req = R1 + 3,484 = 5 + 3,484 = 8,484 Ω

Відповідь

Req = 8,484 Ω
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 0,4865 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 10 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​25 ΩAR4​4 ΩBR6​6 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 12 + 6 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 3,273 Ω
R3 + 3,273 = 18,27 Ω
R2 ∥ 18,27 = 10,56 Ω
Req = R1 + 10,56 = 10 + 10,56 = 20,56 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 10/20,56 = 0,4865 A

Відповідь

IR1 = 0,4865 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: IR3 = −0,225 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​15 ΩBIs​1 A

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 9 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/20 + (VA − 9)/4 + (VA − VB)/15 = 0
0,3667·VA − 0,06667·VB = 2,25

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/15 = 1
−0,06667·VA + 0,1333·VB = 1

Розв’яжіть

Δ = (0,3667)(0,1333) − (−0,06667)(−0,06667) = 0,04444
VA = Δ1/Δ = 0,3667/0,04444 = 8,25 V
VB = Δ2/Δ = 0,5167/0,04444 = 11,63 V

Відповідь

IR3 = (VA − VB)/R3 = (8,25 − 11,63)/15 = −0,225 A
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VB = 11,38 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 5 ΩR2​ = 5 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​36 VR3​4 ΩAR5​4 ΩBIs​1 A+−V2​15 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 36 V, V2 = 15 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/4 + (VA − 36)/5 + (VA − VB)/5 = 0
0,65·VA − 0,2·VB = 7,2

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/4 + (VB − VA)/5 + (VB − 15)/3 = 1
−0,2·VA + 0,7833·VB = 6

Розв’яжіть

Δ = (0,65)(0,7833) − (−0,2)(−0,2) = 0,4692
VA = Δ1/Δ = 6,84/0,4692 = 14,58 V
VB = Δ2/Δ = 5,34/0,4692 = 11,38 V

Відповідь

VB = 11,38 V
5.Тевенен і Нортон

Відповідь: Rth = 8 Ω

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 5 ΩR3​ = 4 ΩКЗR2​20 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 5·20/(5+20) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 4 = 8 Ω
6.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 6,72 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​20 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 10·20/(10+20) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 10 = 16,67 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​18 VR2​20 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 12 + 6·6,667 = 52 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 52 + 6·10 = 112 V
IN​6,72 ARth​16,67 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 112/16,67 = 6,72 A
7.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vL = 1,044 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3,191 ms
i(∞) = Vs/R = 5/47 = 0,1064 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−5/3,191 = 1,044 V

Відповідь

vL = 1,044 V
8.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 0,93 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

vC(0) = 30·4,7/(6,8 + 4,7) = 12,26 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R2·C = 4,7·33 = 155,1 ms

Розряджання

vC(t) = 12,26·e−400/155,1 = 0,93 V

Відповідь

vC = 0,93 V
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 4,26 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

XL = 62,83 Ω, XC = 169,3 Ω

Повний опір

|Z| = √(20² + (−106,5)²) = 108,3 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 50/108,3 = 0,4615 A
P = I²·R = 0,4615²·20 = 4,26 W

Відповідь

P = 4,26 W
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f0 = 339,3 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·2,2·10⁻⁶)) = 339,3 Hz

Відповідь

f0 = 339,3 Hz
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 645,1 var

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 240/25 = 9,6 A

Реактивна потужність

Q = I²·X = 9,6²·7 = 645,1 var

Відповідь

Q = 645,1 var
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Pmax = 1 W

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Спряжене узгодження

Реактивний опір навантаження компенсує реактивний опір джерела, а активний опір навантаження дорівнює активному опору джерела.

ZL = Zs* = 25 − j3 Ω

Максимальна потужність

I = Vs/(2Rs) = 10/50 = 0,2 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 10²/(4·25) = 1 W

Відповідь

Pmax = 1 W
13.Трифазні системи

Відповідь: P = 27,65 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазна напруга

Vph = VL = 480 V

Фазний струм

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 480/15 = 32 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·Iph²·R = 3·32²·9 = 27,65 kW

Відповідь

P = 27,65 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.

14.Трифазні системи

Відповідь: QC = 59,92 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,78) = 100·0,8023 = 80,23 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 59,92 kvar

Відповідь

QC = 59,92 kvar
15.Трансформатори

Відповідь: a = 4

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·10 = 160
a = √(160/10) = √16 = 4

Відповідь

a = 4
16.Трансформатори

Відповідь: Sη,max = 35,36 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·500 = 250 → x = √(250/500) = 0,7071

Навантаження при максимальному ККД

Sη,max = x·S = 0,7071·50 = 35,36 kVA

Відповідь

Sη,max = 35,36 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals