Основи електротехніки: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 3 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBR6​4 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 2 ΩR5 = 3 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
3.Метод вузлових потенціалівСередня
−+Vs​ = 12 VIs​2,5 AAR1​4 ΩR2​2 ΩB

Джерело напруги Vₛ між A і B має затискач + біля B, тож забезпечує VB − VA = Vₛ. Методом вузлових потенціалів із надвузлом знайдіть вузлову напругу VB (відносно землі).

Is = 2,5 AVs = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 2 Ω
VB = V
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 20 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​10 VR2​30 ΩAR4​10 ΩBIs​?

Джерело струму регулюють, доки вузлова напруга в A не стане VA = 12 V. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм джерела Is (напрямок як на схемі).

V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 30 ΩR3 = 30 ΩR4 = 10 ΩVA = 12 V
Is = A
5.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩAab

Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.

V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V
6.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAIs​2,5 ABRL​25 ΩIL​

До a–b підключено навантаження RL = 25 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.

V1 = 9 VIs = 2,5 AR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩRL = 25 Ω
IL = A
7.Перехідні процеси RC і RLСередня
R = 15 Ωt = 0L220 mHi(t)

Через котушку тече сталий струм 0,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 0,1 A? Знайдіть t.

i(0) = 0,5 AR = 15 ΩL = 220 mH
t = ms
8.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​15 VR1​ = 33 ΩR2​ = 10 Ωзамикається при t = 0L68 mHi(t)

Ключ паралельно R2 був розімкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ замикається й закорочує R2. Через який час після t = 0 струм котушки досягне 0,391 A? Знайдіть t.

Vs = 15 VR1 = 33 ΩR2 = 10 ΩL = 68 mH
t = ms
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
230 V50 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µF
I = A
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
10 V200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 22 µF+−VC​

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення напруги VC на конденсаторі.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 22 µF
VC = V
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
120 VZ12 + j9 ΩI

Навантаження з повним опором Z = 12 + j9 Ω під’єднано до однофазної мережі 120 V (діюче значення). Знайдіть активну потужність P, яку воно споживає.

V = 120 VZ = 12 + j9 Ω
P = W
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P1​ = 29 kWQ1​S1​φ

Однофазний трансформатор потужністю 100 kVA живить навантаження 29 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

Smax = 100 kVAP1 = 29 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
13.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 480 VNZ = 5 + j12 Ωна фазу

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 5 + j12 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 480 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

VL = 480 VZ = 5 + j12 Ω на фазу
P = kW
14.Трифазні системиСкладна
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симетричне трифазне навантаження споживає 60 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 400 V (лінійна напруга), 60 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,95 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 60 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаториСередня
RL​ = 20 Ω511150 VV2​I1​ = ?I2​

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 5:1 прикладено 1150 V. До вторинної обмотки підключено резистор 20 Ω. Знайдіть первинний струм I1.

N1:N2 = 5:1V1 = 1150 VRL = 20 Ω
I1 = A
16.ТрансформаториСкладна
pf 0,9500 kVA, 75% навантаження

Однофазний трансформатор 500 kVA має втрати в сталі 2500 W і втрати в міді 3750 W при номінальному навантаженні. Він віддає 75% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати Ploss у ватах при цьому навантаженні.

S = 500 kVAPcore = 2500 WPcu,fl = 3750 Wx = 0,75pf = 0,9
Ploss = W

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 7 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 3 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 3 + 2 = 5 Ω
R2 ∥ 5 = 20·5/(20+5) = 4 Ω
Req = R1 + 4 = 3 + 4 = 7 Ω

Відповідь

Req = 7 Ω
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 15,84 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​15 ΩAR4​2 ΩBR6​4 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 3 + 4 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 1,556 Ω
R3 + 1,556 = 9,556 Ω
R2 ∥ 9,556 = 5,837 Ω
Req = R1 + 5,837 = 10 + 5,837 = 15,84 Ω

Відповідь

Req = 15,84 Ω
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VB = 7,333 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

Утворіть надвузол

Струм через джерело напруги між A і B невідомий, тож ЗСК не можна записати для A чи B окремо. Об’єднайте A, B і джерело в один надвузол: струм, що входить у нього, дорівнює струму, що виходить.

VB = VA + Vs = VA + 12
VA/R1 + VB/R2 = Is

Розв’яжіть

VA/4 + (VA + 12)/2 = 2,5
VA = (2,5 − 12/2)/(1/4 + 1/2) = −4,667 V
VB = −4,667 + 12 = 7,333 V

Відповідь

VB = 7,333 V
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: Is = 3,2 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

VA відоме, тож це рівняння дає VB.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(12 − 10)/20 + 12/30 = (VB − 12)/30
0,5 = (VB − 12)/30 → VB = 27 V

ЗСК для вузла B

Струми, що виходять з B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (27 − 12)/30 + 27/10 = 3,2 A

Відповідь

Is = 3,2 A
5.Тевенен і Нортон

Відповідь: Vth = 9,783 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 5 ΩКЗR2​15 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 8·15/(8+15) = 5,217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,217 + 5 = 10,22 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​15 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·15/(8+15) = 9,783 V
6.Тевенен і Нортон

Відповідь: IL = 0,5109 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 4 ΩКЗR2​2 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,667 + 4 = 5,667 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAIs​2,5 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,5 + 2,5·1,667 = 5,667 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 5,667 + 2,5·4 = 15,67 V
Rth​ = 5,667 Ω+−Vth​15,67 VRL​25 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 15,67/(5,667 + 25) = 0,5109 A
7.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 23,61 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14,67 ms

Виразіть час

0,1 = 0,5·e−t/τ → t = τ·ln(0,5/0,1)
t = 14,67·ln(5) = 23,61 ms

Відповідь

t = 23,61 ms
8.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 1,049 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 у контурі обидва резистори; після цього замкнений ключ шунтує R₂.

i(0) = 15/(33 + 10) = 0,3488 A
i(∞) = 15/33 = 0,4545 A
τ = L/R = 68/33 = 2,061 ms
i(t) = 0,4545 + (0,3488 − 0,4545)·e−t/τ

Виразіть час

e−t/τ = (0,391 − 0,4545)/(0,3488 − 0,4545) = 0,6011
t = 2,061·ln(1,664) = 1,049 ms

Відповідь

t = 1,049 ms
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 2,228 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−25,55)²) = 103,2 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/103,2 = 2,228 A

Відповідь

I = 2,228 A
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VC = 1,224 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (278)²) = 295,4 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/295,4 = 0,03385 A

Напруга на конденсаторі

VC = I·XC = 0,03385·36,17 = 1,224 V

Відповідь

VC = 1,224 V
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: P = 768 W

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 120/15 = 8 A

Активна потужність

P = I²·R = 8²·12 = 768 W

Відповідь

P = 768 W
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 67,67 kW

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність наявного навантаження

Q1 = 29·tan(arccos 0,75) = 25,58 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = Smax, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 25,58²) = 96,67 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 96,67 − 29 = 67,67 kW

Відповідь

ΔP = 67,67 kW
13.Трифазні системи

Відповідь: P = 6,817 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазна напруга

Vph = 480/√3 = 277,1 V

Фазний струм

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
Iph = 277,1/13 = 21,32 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·Iph²·R = 3·21,32²·5 = 6,817 kW

Відповідь

P = 6,817 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,3846, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.

14.Трифазні системи

Відповідь: QC = 25,28 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,8) = 60·0,75 = 45 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,95) = 60·0,3287 = 19,72 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 25,28 kvar

Відповідь

QC = 25,28 kvar
15.Трансформатори

Відповідь: I1 = 2,3 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V2 = 1150/5 = 230 V
I2 = 230/20 = 11,5 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/5 = 2,3 A

Відповідь

I1 = 2,3 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·RL = 500 Ω, і 1150/500 дає той самий струм.

16.Трансформатори

Відповідь: Ploss = 4609 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,5625·3750 = 2109 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

Ploss = 2500 + 2109 = 4609 W

Відповідь

Ploss = 4609 W

ККД при цьому навантаженні η = 98,65%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals