Основи електротехніки: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩIR2​AR4​10 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 2 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBR6​25 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 ΩR5 = 10 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​15 ΩBIs​2 A

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти вузлову напругу VA (відносно землі).

V1 = 10 VIs = 2 AR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 ΩR4 = 15 Ω
VA = V
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 15 ΩIR1​−+Vs​ = 15 V+−V1​18 VR2​20 ΩAR3​2 ΩBIs​4 A

Джерело напруги Vₛ між A і B має затискач + біля B, тож забезпечує VB − VA = Vₛ. Методом вузлових потенціалів із надвузлом знайдіть струм IR1 через R1 у напрямку стрілки.

V1 = 18 VIs = 4 AVs = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 2 Ω
IR1 = A
5.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAab

Знайдіть напругу Тевенена Vth з боку затискачів a–b.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
6.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAIs​1 ABRL​8 ΩIL​

До a–b підключено навантаження RL = 8 Ω. За допомогою еквівалента Тевенена знайдіть потужність PL, що передається навантаженню.

V1 = 24 VIs = 1 AR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 ΩRL = 8 Ω
PL = W
7.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​10 Vt = 0R = 10 ΩL10 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

Vs = 10 VR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
8.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​12 Vt = 0R = 1 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 18 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 15 V? Знайдіть t.

Vs = 12 VR = 1 kΩC = 10 µFvC(0) = 18 V
t = ms
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
120 V500 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µF
I = A
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
1 Vf0​R = 15 ΩL = 50 mHC = 0,1 µF

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 1 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги VL на котушці.

V = 1 V (rms)R = 15 ΩL = 50 mHC = 0,1 µF
VL = V
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
P = 28 kWQSφ

Однофазний двигун споживає 28 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 28 kWpf = 0,8V = 230 V
I = A
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазне навантаження споживає 10 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 230 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,9. Знайдіть новий струм лінії Inew.

P = 10 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9V = 230 Vf = 50 Hz
Inew = A
13.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M45 kW, η = 95%cos φ = 0,88

Трифазний асинхронний двигун при повному навантаженні розвиває механічну потужність 45 kW. При цьому навантаженні його ККД становить 95%, а коефіцієнт потужності 0,88, відстаючий. Лінійна напруга мережі 480 V. Знайдіть лінійний струм IL.

Pout = 45 kWη = 95%cos φ = 0,88VL = 480 V
IL = A
14.Трифазні системиСкладна
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 50 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано зіркою. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаториСередня
75 Ω41

До вторинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 4:1 підключено резистор 75 Ω. Знайдіть опір R1′ з боку первинної обмотки.

N1:N2 = 4:1RL = 75 Ω
R1′ = Ω
16.ТрансформаториСкладна
pf 0,9100 kVA, η = 99%

Однофазний трансформатор 100 kVA має втрати в сталі 400 W. При номінальному навантаженні й коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому) його ККД становить 99%. Знайдіть втрати в міді при повному навантаженні Pcu,fl у ватах.

S = 100 kVAPcore = 400 Wpf = 0,9η = 99%
Pcu,fl = W

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 1,164 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​10 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 3 + 10 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 5·13/(5+13) = 3,611 Ω
Req = R1 + 3,611 = 15 + 3,611 = 18,61 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/18,61 = 1,612 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1,612·15 = 5,821 V
IR2 = VA/R2 = 5,821/5 = 1,164 A

Відповідь

IR2 = 1,164 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 2,33 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBR6​25 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 10 + 25 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 10,5 Ω
R3 + 10,5 = 12,5 Ω
R2 ∥ 12,5 = 4,878 Ω
Req = R1 + 4,878 = 8 + 4,878 = 12,88 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/12,88 = 2,33 A

Відповідь

IR1 = 2,33 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VA = −0,8108 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 8 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​15 ΩBIs​2 A

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 10 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/3 + (VA − 10)/8 + (VA − VB)/3 = 0
0,7917·VA − 0,3333·VB = 1,25

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/3 = (−2)
−0,3333·VA + 0,4·VB = −2

Розв’яжіть

Δ = (0,7917)(0,4) − (−0,3333)(−0,3333) = 0,2056
VA = Δ1/Δ = −0,1667/0,2056 = −0,8108 V
VB = Δ2/Δ = −1,167/0,2056 = −5,676 V

Відповідь

VA = −0,8108 V
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: IR1 = 1,449 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

Утворіть надвузол

Струм через джерело напруги між A і B невідомий, тож ЗСК не можна записати для A чи B окремо. Об’єднайте A, B і джерело в один надвузол: струм, що входить у нього, дорівнює струму, що виходить.

VB = VA + 15
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

Розв’яжіть

(VA − 18)/15 + VA/20 + (VA + 15)/2 = 4
VA·(1/15 + 1/20 + 1/2) = 4 + 18/15 − 15/2 = −2,3
VA = −2,3/0,6167 = −3,73 V
VB = 11,27 V

Струм через R₁

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (18 − (−3,73))/15 = 1,449 A

Відповідь

IR1 = 1,449 A

Від’ємний результат означає, що дійсний струм тече проти стрілки.

5.Тевенен і Нортон

Відповідь: Vth = 3,6 V

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 2 ΩКЗR2​10 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 15·10/(15+10) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 2 = 8 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·10/(15+10) = 3,6 V
6.Тевенен і Нортон

Відповідь: PL = 17,52 W

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 6 ΩКЗR2​8 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,667 + 6 = 8,667 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 16 + 1·2,667 = 18,67 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 18,67 + 1·6 = 24,67 V
Rth​ = 8,667 Ω+−Vth​24,67 VRL​8 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 24,67/(8,667 + 8) = 1,48 A
PL = IL²·RL = 1,48²·8 = 17,52 W
7.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,6321 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 10/10 = 1 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 1·(1 − e−1/1) = 0,6321 A

Відповідь

i = 0,6321 A
8.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 6,931 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms
vC(t) = 12 + (18 − 12)·e−t/τ

Виразіть час

15 = 12 + (6)·e−t/τ → e−t/τ = (15 − 12)/(18 − 12) = 0,5
t = τ·ln((18 − 12)/(15 − 12)) = 10·ln(2) = 6,931 ms

Відповідь

t = 6,931 ms
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,2007 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (596,5)²) = 597,8 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/597,8 = 0,2007 A

Відповідь

I = 0,2007 A
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VL = 47,14 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·0,1·10⁻⁶) = 14142 rad/s
I = V/R = 1/15 = 0,06667 A

Напруга на котушці

XL = ω₀L = 14142·0,05 = 707,1 Ω
VL = I·XL = 0,06667·707,1 = 47,14 V

Відповідь

VL = 47,14 V

Це в Q = 47,14 разів більше за напругу мережі.

11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 152,2 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 28000/(230·0,8) = 152,2 A

Відповідь

I = 152,2 A
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Inew = 48,31 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(49,46°) = 11,69 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(25,84°) = 4,843 kvar
QC = Q1 − Q2 = 6,848 kvar

Новий струм лінії

Inew = P/(V·cos φ2) = 10000/(230·0,9) = 48,31 A

Відповідь

Inew = 48,31 A
13.Трифазні системи

Відповідь: IL = 64,74 A

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Електрична вхідна потужність

Pin = Pout/η = 45/0,95 = 47,37 kW

Струм лінії

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 47368/(√3·480·0,88) = 64,74 A

Відповідь

IL = 64,74 A
14.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 473 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 34,24 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній зіркою, кожен конденсатор увімкнено між лінійним проводом і нейтральною точкою.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 11413/(314,2·277,1²) = 473 µF

Відповідь

Cph = 473 µF
15.Трансформатори

Відповідь: R1′ = 1200 Ω

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Зведений опір

Напруга зростає в a разів, а струм зменшується в a разів, тож відношення V/I зростає в a² разів.

R1′ = a²·RL = 4²·75 = 1200 Ω

Відповідь

R1′ = 1200 Ω
16.Трансформатори

Відповідь: Pcu,fl = 509,1 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Вихідна й вхідна потужність

Pout = 100·0,9 = 90 kW
Pin = 90000/0,99 = 90909 W

Сумарні втрати й втрати в міді

Ploss = 90909 − 90000 = 909,1 W
Pcu,fl = 909,1 − 400 = 509,1 W

Відповідь

Pcu,fl = 509,1 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals