Основи електротехніки: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​10 ΩB

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​8 ΩBR6​5 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 ΩR4 = 8 ΩR5 = 4 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​2 ΩBIs​3 A

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти струм IR1 через R1 у напрямку стрілки.

V1 = 30 VIs = 3 AR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 10 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​6 ΩAR4​15 ΩB0,05·VA​

Ромб — це джерело струму, кероване напругою, що подає струм 0,05·VA (в A, де VA у V) угору у вузол B. Методом вузлових потенціалів знайдіть вузлову напругу VA (відносно землі).

V1 = 5 VR1 = 10 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 ΩR4 = 15 Ωg = 0,05 A/V
VA = V
5.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 Ω
IN = A
6.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 30 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAIs​1,5 ABRL​15 ΩIL​

До a–b підключено навантаження RL = 15 Ω. Замініть решту кола еквівалентом Тевенена і знайдіть струм навантаження IL.

V1 = 12 VIs = 1,5 AR1 = 30 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩRL = 15 Ω
IL = A
7.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​12 Vt = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 6,8 kΩC47 µF+−vC​

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 100 ms.

Vs = 12 VR1 = 10 kΩR2 = 6,8 kΩC = 47 µFt = 100 ms
vC = V
8.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​24 Vрозмикається при t = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 10 kΩi2​C22 µF+−vC​

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм i2 через R2 при t = 100 ms.

Vs = 24 VR1 = 6,8 kΩR2 = 10 kΩC = 22 µFt = 100 ms
i2 = mA
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
100 V500 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 1 µF

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 1 µF
φ = °
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
10 Vf0​R = 2 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 10 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги VL на котушці.

V = 10 V (rms)R = 2 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
VL = V
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
P = 32 kWQ = ?Sφ

Однофазний двигун споживає 32 kW при коефіцієнті потужності 0,65 (індуктивному) від мережі 230 V. Знайдіть реактивну потужність Q, яку він споживає.

P = 32 kWpf = 0,65V = 230 V
Q = kvar
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P = 40 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазне навантаження споживає 40 kW при коефіцієнті потужності 0,6 (індуктивному) від мережі 240 V, 50 Hz. Паралельно підключений конденсатор підвищує коефіцієнт потужності до 0,92. Знайдіть новий струм лінії Inew.

P = 40 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz
Inew = A
13.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 400 VNZ = 15 + j20 Ωна фазу

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 15 + j20 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

VL = 400 VZ = 15 + j20 Ω на фазу
P = kW
14.Трифазні системиСкладна
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 80 kW при коефіцієнті потужності 0,7 (відстаючому) від мережі 415 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 80 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаториСередня
5 ΩN1​N2​20 Ω

Підсилювач з вихідним опором 20 Ω живить гучномовець 5 Ω через ідеальний трансформатор. Для передачі максимальної потужності гучномовець з боку підсилювача має виглядати як 20 Ω. Знайдіть коефіцієнт трансформації a = N₁/N₂.

Rs = 20 ΩRL = 5 Ω
a =
16.ТрансформаториСкладна
250 kVA

Однофазний трансформатор 250 kVA має втрати в сталі 1500 W і втрати в міді 3750 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні Sη,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 250 kVAPcore = 1500 WPcu,fl = 3750 W
Sη,max = kVA

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 0,7826 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 15 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAR4​10 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 15 + 10 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 5·25/(5+25) = 4,167 Ω
Req = R1 + 4,167 = 15 + 4,167 = 19,17 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 15/19,17 = 0,7826 A

Відповідь

IR1 = 0,7826 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 23,43 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 20 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​8 ΩBR6​5 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 4 + 5 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 4,235 Ω
R3 + 4,235 = 24,24 Ω
R2 ∥ 24,24 = 3,433 Ω
Req = R1 + 3,433 = 20 + 3,433 = 23,43 Ω

Відповідь

Req = 23,43 Ω
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: IR1 = 6,383 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​2 ΩBIs​3 A

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 30 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/5 + (VA − 30)/3 + (VA − VB)/2 = 0
1,033·VA − 0,5·VB = 10

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/2 + (VB − VA)/2 = (−3)
−0,5·VA + VB = −3

Розв’яжіть

Δ = (1,033)(1) − (−0,5)(−0,5) = 0,7833
VA = Δ1/Δ = 8,5/0,7833 = 10,85 V
VB = Δ2/Δ = 1,9/0,7833 = 2,426 V

Відповідь

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (30 − 10,85)/3 = 6,383 A
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VA = 1,837 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

Струми, що виходять з A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,3·VA − 0,03333·VB = 0,5

ЗСК для вузла B

Залежне джерело подає g·VA у вузол B. Розглядайте його як незалежне джерело, потім перенесіть доданок з VA у ліву частину.

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,05·VA
−0,08333·VA + 0,1·VB = 0

Розв’яжіть

Δ = (0,3)(0,1) − (−0,03333)(−0,08333) = 0,02722
VA = Δ1/Δ = 0,05/0,02722 = 1,837 V
VB = Δ2/Δ = 0,04167/0,02722 = 1,531 V

Відповідь

VA = 1,837 V
5.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 2,034 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 5 ΩКЗR2​8 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,429 + 5 = 8,429 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·8/(6+8) = 17,14 V
IN​2,034 ARth​8,429 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 17,14/8,429 = 2,034 A
6.Тевенен і Нортон

Відповідь: IL = 0,9714 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 30 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​15 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 30·15/(30+15) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 10 = 20 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAIs​1,5 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4 + 1,5·10 = 19 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 19 + 1,5·10 = 34 V
Rth​ = 20 Ω+−Vth​34 VRL​15 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 34/(20 + 15) = 0,9714 A
7.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 1,986 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти Rth; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

Rth = R1 ∥ R2 = 10·6,8/(10 + 6,8) = 4,048 kΩ
vC(∞) = 12·6,8/(10 + 6,8) = 4,857 V

Стала часу

τ = Rth·C = 4,048·47 = 190,2 ms

Крива заряджання

vC(t) = 4,857·(1 − e−100/190,2) = 1,986 V

Відповідь

vC = 1,986 V
8.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i2 = 0,9068 mA

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

vC(0) = 24·10/(6,8 + 10) = 14,29 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R2·C = 10·22 = 220 ms

Розряджання

vC(t) = 14,29·e−100/220 = 9,068 V
i2 = vC/R2 = 9,068/10 = 0,9068 mA

Відповідь

i2 = 0,9068 mA
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −79,46 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−161,2)²) = 164 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−161,2/30) = −79,46°

Відповідь

φ = −79,46°
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VL = 515,7 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·4,7·10⁻⁶) = 2063 rad/s
I = V/R = 10/2 = 5 A

Напруга на котушці

XL = ω₀L = 2063·0,05 = 103,1 Ω
VL = I·XL = 5·103,1 = 515,7 V

Відповідь

VL = 515,7 V

Це в Q = 51,57 разів більше за напругу мережі.

11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 37,41 kvar

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Кут

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

Реактивна потужність

Q = P·tan φ = 32·1,169 = 37,41 kvar

Відповідь

Q = 37,41 kvar
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Inew = 181,2 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(53,13°) = 53,33 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(23,07°) = 17,04 kvar
QC = Q1 − Q2 = 36,29 kvar

Новий струм лінії

Inew = P/(V·cos φ2) = 40000/(240·0,92) = 181,2 A

Відповідь

Inew = 181,2 A
13.Трифазні системи

Відповідь: P = 3,84 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазна напруга

Vph = 400/√3 = 230,9 V

Фазний струм

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
Iph = 230,9/25 = 9,238 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·Iph²·R = 3·9,238²·15 = 3,84 kW

Відповідь

P = 3,84 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.

14.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 292,9 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 80·tan(acos 0,7) = 80·1,02 = 81,62 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,92) = 80·0,426 = 34,08 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 47,54 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 15845/(314,2·415²) = 292,9 µF

Відповідь

Cph = 292,9 µF
15.Трансформатори

Відповідь: a = 2

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Узгодьте зведене навантаження

a²·5 = 20
a = √(20/5) = √4 = 2

Відповідь

a = 2
16.Трансформатори

Відповідь: Sη,max = 158,1 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·3750 = 1500 → x = √(1500/3750) = 0,6325

Навантаження при максимальному ККД

Sη,max = x·S = 0,6325·250 = 158,1 kVA

Відповідь

Sη,max = 158,1 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals