Основи електротехніки: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩIR2​AR4​4 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 10 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩAR4​20 ΩBR6​5 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 20 ΩR4 = 20 ΩR5 = 6 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​3 ΩBIs​5 A

Методом вузлових потенціалів знайдіть потужність PIs, яку віддає джерело струму Is.

V1 = 12 VIs = 5 AR1 = 12 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 ΩR4 = 3 Ω
PIs = W
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 15 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 5 Ω+−V1​30 VR3​30 ΩAR5​4 ΩBIs​0,5 A+−V2​30 V

Скористайтеся методом вузлових потенціалів, щоб знайти вузлову напругу VB (відносно землі).

V1 = 30 VIs = 0,5 AV2 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 30 ΩR4 = 5 ΩR5 = 4 Ω
VB = V
5.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 Ω
IN = A
6.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 4 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAIs​1 ABab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 12 VIs = 1 AR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 Ω
IN = A
7.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​9 Vt = 0R = 22 ΩL150 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу vL на котушці в момент t = 15 ms.

Vs = 9 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 15 ms
vL = V
8.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​24 Vt = 0R = 6,8 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 3 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 17,7 V? Знайдіть t.

Vs = 24 VR = 6,8 kΩC = 68 µFvC(0) = 3 V
t = ms
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
230 V60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µF
cos φ =
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
VfR = 10 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF

Послідовне RLC-коло має R = 10 Ω, L = 5 mH і C = 0,47 µF. Знайдіть його смугу пропускання B (ширину смуги між частотами половинної потужності) у Hz.

R = 10 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF
B = Hz
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
P = 3 kWQSφ

Однофазний двигун споживає 3 kW при коефіцієнті потужності 0,75 (індуктивному) від мережі 400 V. Знайдіть струм лінії I.

P = 3 kWpf = 0,75V = 400 V
I = A
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
P1​ = 36 kWQ1​S1​φ

Однофазний трансформатор потужністю 100 kVA живить навантаження 36 kW з коефіцієнтом потужності 0,75 (індуктивним). Яку додаткову активну потужність ΔP можна під’єднати у вигляді активного навантаження (коефіцієнт потужності 1), перш ніж трансформатор досягне номінальної потужності в kVA?

Smax = 100 kVAP1 = 36 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
13.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 400 VNZ = 18 + j24 Ωна фазу

Симетричне навантаження, з’єднане зіркою, з повним опором 18 + j24 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 400 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

VL = 400 VZ = 18 + j24 Ω на фазу
P = kW
14.Трифазні системиСкладна
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симетричне трифазне навантаження споживає 200 kW при коефіцієнті потужності 0,72 (відстаючому) від мережі 480 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,9 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Конденсатори з’єднано трикутником. Знайдіть ємність Cph кожного конденсатора в µF.

P = 200 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаториСередня
6600 V230 VIHV​ILV​ = ?50 kVA

Однофазний трансформатор 50 kVA, 6600/230 V працює з номінальним навантаженням. Вважайте його ідеальним. Знайдіть струм ILV в обмотці нижчої напруги.

S = 50 kVAV1 = 6600 VV2 = 230 V
ILV = A
16.ТрансформаториСкладна
250 kVA

Однофазний трансформатор 250 kVA має втрати в сталі 1000 W і втрати в міді 2500 W при номінальному навантаженні. При якому навантаженні Sη,max, у kVA, його ККД найвищий?

S = 250 kVAPcore = 1000 WPcu,fl = 2500 W
Sη,max = kVA

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,9 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​4 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 2 + 4 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 8·6/(8+6) = 3,429 Ω
Req = R1 + 3,429 = 8 + 3,429 = 11,43 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/11,43 = 2,1 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2,1·8 = 7,2 V
IR2 = VA/R2 = 7,2/8 = 0,9 A

Відповідь

IR2 = 0,9 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 11,86 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 10 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​18 VR2​2 ΩAR4​20 ΩBR6​5 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 6 + 5 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 7,097 Ω
R3 + 7,097 = 27,1 Ω
R2 ∥ 27,1 = 1,863 Ω
Req = R1 + 1,863 = 10 + 1,863 = 11,86 Ω

Відповідь

Req = 11,86 Ω
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: PIs = 62,73 W

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 12)/12 + (VA − VB)/2 = 0
0,6667·VA − 0,5·VB = 1

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/3 + (VB − VA)/2 = 5
−0,5·VA + 0,8333·VB = 5

Розв’яжіть

Δ = (0,6667)(0,8333) − (−0,5)(−0,5) = 0,3056
VA = Δ1/Δ = 3,333/0,3056 = 10,91 V
VB = Δ2/Δ = 3,833/0,3056 = 12,55 V

Потужність, яку віддає джерело струму

Джерело подає Iₛ угору у вузол B, від землі (0 V) до VB. Джерело, струм якого виходить з його затискача +, віддає потужність P = V·I.

PIs = VB·Is = 12,55·5 = 62,73 W

Відповідь

PIs = 62,73 W
4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: VB = 13,29 V

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

R1​ = 15 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 5 Ω+−V1​30 VR3​30 ΩAR5​4 ΩBIs​0,5 A+−V2​30 V

Визначте вузли

Земля — нижній провід. Відомі вузлові напруги беруться прямо з джерел (V1 = 30 V, V2 = 30 V). Невідомі: VA, VB.

ЗСК у вузлі A

Струми, що виходять із A через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 30)/15 + (VA − VB)/4 = 0
0,35·VA − 0,25·VB = 2

ЗСК у вузлі B

Струми, що виходять із B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/4 + (VB − VA)/4 + (VB − 30)/5 = (−0,5)
−0,25·VA + 0,7·VB = 5,5

Розв’яжіть

Δ = (0,35)(0,7) − (−0,25)(−0,25) = 0,1825
VA = Δ1/Δ = 2,775/0,1825 = 15,21 V
VB = Δ2/Δ = 2,425/0,1825 = 13,29 V

Відповідь

VB = 13,29 V
5.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 0,6923 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 5 ΩКЗR2​5 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 4·5/(4+5) = 2,222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,222 + 5 = 7,222 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·5/(4+5) = 5 V
IN​0,6923 ARth​7,222 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 5/7,222 = 0,6923 A
6.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 1,222 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 30 ΩКЗR2​6 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 4·6/(4+6) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 30 = 32,4 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,2 + 1·2,4 = 9,6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9,6 + 1·30 = 39,6 V
IN​1,222 ARth​32,4 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 39,6/32,4 = 1,222 A
7.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vL = 0,9972 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6,818 ms
i(∞) = Vs/R = 9/22 = 0,4091 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−15/6,818 = 0,9972 V

Відповідь

vL = 0,9972 V
8.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 556,7 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 68 µF = 462,4 ms
vC(t) = 24 + (3 − 24)·e−t/τ

Виразіть час

17,7 = 24 + (−21)·e−t/τ → e−t/τ = (17,7 − 24)/(3 − 24) = 0,3
t = τ·ln((3 − 24)/(17,7 − 24)) = 462,4·ln(3,333) = 556,7 ms

Відповідь

t = 556,7 ms
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,3088

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

XL = 18,85 Ω, XC = 265,3 Ω

Повний опір

|Z| = √(80² + (−246,4)²) = 259,1 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 80/259,1 = 0,3088
Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,3088
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: B = 318,3 Hz

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонансна частота

f0 = 1/(2π·√(0,005·0,47·10⁻⁶)) = 3283 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,005/(0,47·10⁻⁶)) = 10,31

Смуга пропускання

B = f0/Q = 3283/10,31 = 318,3 Hz

Відповідь

B = 318,3 Hz
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: I = 10 A

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм лінії

Роботу виконує лише активна частина потужності, тож поділіть на коефіцієнт потужності.

I = P/(V·cos φ) = 3000/(400·0,75) = 10 A

Відповідь

I = 10 A
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: ΔP = 58,83 kW

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність наявного навантаження

Q1 = 36·tan(arccos 0,75) = 31,75 kvar

Найбільша сумарна активна потужність

За повного навантаження S = Smax, а Q від активного навантаження не змінюється.

P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 31,75²) = 94,83 kW

Додаткова активна потужність

ΔP = 94,83 − 36 = 58,83 kW

Відповідь

ΔP = 58,83 kW
13.Трифазні системи

Відповідь: P = 3,2 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазна напруга

Vph = 400/√3 = 230,9 V

Фазний струм

|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 230,9/30 = 7,698 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·Iph²·R = 3·7,698²·18 = 3,2 kW

Відповідь

P = 3,2 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,6, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.

14.Трифазні системи

Відповідь: Cph = 441,7 µF

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0,72) = 200·0,9639 = 192,8 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 95,91 kvar

Ємність на фазу

У батареї, з’єднаній трикутником, кожен конденсатор увімкнено між двома лінійними проводами.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 31969/(314,2·480²) = 441,7 µF

Відповідь

Cph = 441,7 µF
15.Трансформатори

Відповідь: ILV = 217,4 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Номінальний струм

Обидві обмотки передають однакову повну потужність.

ILV = S/V = 50000/230 = 217,4 A

Відповідь

ILV = 217,4 A
16.Трансформатори

Відповідь: Sη,max = 158,1 kVA

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді дорівнюють втратам у сталі

x²·2500 = 1000 → x = √(1000/2500) = 0,6325

Навантаження при максимальному ККД

Sη,max = x·S = 0,6325·250 = 158,1 kVA

Відповідь

Sη,max = 158,1 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals