Основи електротехніки: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Метод вузлових потенціалів

Закон струмів Кірхгофа
ΣIin = ΣIout
Струм гілки
I = (Va − Vb)/R
Опорний вузол
Vground = 0

Метод

  1. Оберіть опорний вузол (землю) і позначте напруги інших вузлів.
  2. Запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла: струми, що витікають через гілки, дорівнюють струмам, що втікають.
  3. Виразіть кожен струм гілки як (Va − Vb)/R.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь, потім знайдіть потрібний струм.

Тевенен і Нортон

Напруга Тевенена
Vth = Vopen circuit
Опір Тевенена
Rth: усі джерела вимкнені, з боку a–b
Струм Нортона
IN = Vth/Rth
Струм навантаження
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальної потужності
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Від’єднайте навантаження й позначте два затискачі a і b.
  2. Знайдіть напругу холостого ходу між a і b: це Vth.
  3. Вимкніть усі незалежні джерела й знайдіть опір з боку a–b: це Rth.
  4. Поверніть навантаження до еквівалентної схеми: Vth послідовно з Rth.
  5. Для еквівалента Нортона перетворіть: IN = Vth/Rth, з паралельним RN = Rth.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Активна потужність
P = V·I·cos φ
Реактивна потужність
Q = V·I·sin φ
Повна потужність
S = V·I = √(P² + Q²)
Коефіцієнт потужності
pf = cos φ = P/S
Компенсувальний конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трифазні системи

З’єднання зіркою (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
З’єднання трикутником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Сумарна активна потужність
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Повна й реактивна потужність
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсувальні конденсатори
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напруга на кожному конденсаторі
Δ: VL Y: VL/√3
Вхідна потужність двигуна
Pin = Pout/η

Трансформатори

Коефіцієнт трансформації
a = N1/N2 = V1/V2
Відношення струмів
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номінальний струм
I = S/V
Зведений опір
Z1′ = a²·ZL
Втрати в міді при неповному навантаженні
Pcu = x²·Pcu,fl
ККД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальний ККД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Задачі для практики

1.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩIR2​AR4​10 ΩB

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 8 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
2.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩIR2​AR4​3 ΩBR6​5 Ω

Знайдіть струм IR2 через R2.

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 3 ΩR5 = 20 ΩR6 = 5 Ω
IR2 = A
3.Метод вузлових потенціалівСередня
R1​12 Ω+−V1​30 VR2​6 Ω+−V2​12 VR3​10 Ω+−V3​12 VI3​A

Між вузлом A і землею ввімкнено три вітки, як показано на схемі. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм I3 у вітці 3, що тече вгору у вузол A в напрямку стрілки.

V1 = 30 VR1 = 12 ΩV2 = 12 VR2 = 6 ΩV3 = 12 VR3 = 10 Ω
I3 = A
4.Метод вузлових потенціалівСкладна
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​36 VR2​6 ΩAR4​30 ΩBIs​?

Джерело струму регулюють, доки вузлова напруга в A не стане VA = 36,5 V. Методом вузлових потенціалів знайдіть струм джерела Is (напрямок як на схемі).

V1 = 36 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 ΩR4 = 30 ΩVA = 36,5 V
Is = A
5.Тевенен і НортонСередня
R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAab

Знайдіть струм Нортона IN: струм, що тече від a до b, якщо затискачі закоротити.

V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
6.Тевенен і НортонСкладна
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​30 ΩAIs​3 ABRL​12 ΩIL​

До a–b підключено навантаження RL = 12 Ω. За допомогою еквівалента Тевенена знайдіть потужність PL, що передається навантаженню.

V1 = 5 VIs = 3 AR1 = 12 ΩR2 = 30 ΩR3 = 20 ΩRL = 12 Ω
PL = W
7.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​10 Vt = 0R = 33 ΩL22 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 80% кінцевого значення? Знайдіть t.

Vs = 10 VR = 33 ΩL = 22 mH
t = ms
8.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​9 Vt = 0R = ?C100 µF+−vC​

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 9 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 7,2 V, рівно через 500 ms після старту. При C = 100 µF знайдіть потрібний опір R.

Vs = 9 VVth = 7,2 VT = 500 msC = 100 µF
R = kΩ
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
24 V100 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µF
P = W
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
1 Vf0​R = 50 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 1 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги VL на котушці.

V = 1 V (rms)R = 50 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF
VL = V
11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСередня
120 VZ24 + j7 ΩI

Навантаження з повним опором Z = 24 + j7 Ω під’єднано до однофазної мережі 120 V (діюче значення). Знайдіть реактивну потужність Q, яку воно споживає.

V = 120 VZ = 24 + j7 Ω
Q = var
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужностіСкладна
400 V50 Hzнавантаження30 kW, 0,6C220 µFI

Однофазне навантаження споживає 30 kW з коефіцієнтом потужності 0,6 (індуктивним) від мережі 400 V, 50 Hz. Паралельно навантаженню під’єднують конденсатор ємністю 220 µF. Знайдіть новий коефіцієнт потужності cos φ з боку мережі.

P = 30 kWpf1 = 0,6V = 400 Vf = 50 HzC = 220 µF
cos φ =
13.Трифазні системиСередня
ABCVL​ = 480 VZ = 12 + j9 Ωна фазу

Симетричне навантаження, з’єднане трикутником, з повним опором 12 + j9 Ω на фазу підключене до симетричної трифазної мережі з лінійною напругою 480 V. Знайдіть сумарну активну потужність P, яку поглинає навантаження, у kW.

VL = 480 VZ = 12 + j9 Ω на фазу
P = kW
14.Трифазні системиСкладна
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симетричне трифазне навантаження споживає 100 kW при коефіцієнті потужності 0,8 (відстаючому) від мережі 690 V (лінійна напруга), 50 Hz. Трифазна конденсаторна батарея, підключена паралельно до навантаження, має підвищити загальний коефіцієнт потужності до 0,92 (відстаючого). Активна потужність не змінюється. Знайдіть сумарну реактивну потужність QC, яку має постачати конденсаторна батарея, у kvar.

P = 100 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаториСередня
RL​ = 10 Ω1012400 VV2​I1​ = ?I2​

До первинної обмотки ідеального трансформатора з коефіцієнтом трансформації N₁:N₂ = 10:1 прикладено 2400 V. До вторинної обмотки підключено резистор 10 Ω. Знайдіть первинний струм I1.

N1:N2 = 10:1V1 = 2400 VRL = 10 Ω
I1 = A
16.ТрансформаториСкладна
pf 0,925 kVA, 75% навантаження

Однофазний трансформатор 25 kVA має втрати в сталі 200 W і втрати в міді 500 W при номінальному навантаженні. Він віддає 75% своєї номінальної потужності в kVA при коефіцієнті потужності 0,9 (відстаючому). Знайдіть сумарні втрати Ploss у ватах при цьому навантаженні.

S = 25 kVAPcore = 200 WPcu,fl = 500 Wx = 0,75pf = 0,9
Ploss = W

3Розчини

1.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 2,328 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​10 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 8 + 10 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1,8 Ω
Req = R1 + 1,8 = 4 + 1,8 = 5,8 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 15/5,8 = 2,586 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 2,586·4 = 4,655 V
IR2 = VA/R2 = 4,655/2 = 2,328 A

Відповідь

IR2 = 2,328 A
2.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR2 = 0,4777 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​3 ΩBR6​5 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 20 + 5 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 2,679 Ω
R3 + 2,679 = 4,679 Ω
R2 ∥ 4,679 = 2,156 Ω
Req = R1 + 2,156 = 8 + 2,156 = 10,16 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/10,16 = 0,8861 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,8861·8 = 1,911 V
IR2 = VA/R2 = 1,911/4 = 0,4777 A

Відповідь

IR2 = 0,4777 A
3.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: I3 = −0,4286 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

Нижній провід візьміть за землю. Кожна вітка проводить від A струм (VA − Vk)/Rk, де Vk — напруга її джерела (нуль для простого резистора). Сума струмів, що виходять з A, дорівнює нулю.

(VA − 30)/12 + (VA − 12)/6 + (VA − 12)/10 = 0

Знайдіть VA

VA = (30/12 + 12/6 + 12/10) / (1/12 + 1/6 + 1/10) = 5,7/0,35 = 16,29 V

Струм гілки

Стрілка спрямована вгору вздовж вітки, у вузол A.

I3 = (12 − VA)/R3 = (12 − 16,29)/10 = −0,4286 A

Відповідь

I3 = −0,4286 A

Від’ємний результат означає, що дійсний струм тече проти стрілки.

4.Метод вузлових потенціалів

Відповідь: Is = 8,557 A

Метод вузлових потенціалів: оберіть опорний вузол, позначте невідомі вузлові напруги, запишіть закон струмів Кірхгофа для кожного невідомого вузла за законом Ома (I = ΔV/R) і розв’яжіть отримані рівняння.

ЗСК для вузла A

VA відоме, тож це рівняння дає VB.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(36,5 − 36)/15 + 36,5/6 = (VB − 36,5)/6
6,117 = (VB − 36,5)/6 → VB = 73,2 V

ЗСК для вузла B

Струми, що виходять з B через резистори, дорівнюють струму, який джерела подають у B.

Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (73,2 − 36,5)/6 + 73,2/30 = 8,557 A

Відповідь

Is = 8,557 A
5.Тевенен і Нортон

Відповідь: IN = 1,579 A

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​8 ΩAabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,667 + 10 = 12,67 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, через R₃ струм не тече, тож спаду на ньому немає і V_b = V_A. R₁ і R₂ утворюють дільник напруги.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·8/(4+8) = 20 V
IN​1,579 ARth​12,67 Ωab

Еквівалент Нортона

Джерело Нортона — те саме коло, подане як джерело струму, паралельне R_th. Його струм — це струм короткого замикання на a–b.

IN = Vth/Rth = 20/12,67 = 1,579 A
6.Тевенен і Нортон

Відповідь: PL = 49,19 W

Теорема Тевенена: будь-яке лінійне двополюсне коло поводиться як одне джерело напруги Vth, послідовне з опором Rth. Теорема Нортона подає те саме коло як джерело струму IN = Vth/Rth, паралельне Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 ΩКЗR2​30 ΩAОБРИВBabRth​

Знайдіть Rth з усіма вимкненими джерелами

Замініть джерела напруги короткими замиканнями, а джерела струму — розривами, а тоді подивіться на коло з боку a–b.

R1 ∥ R2 = 12·30/(12+30) = 8,571 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,571 + 20 = 28,57 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​30 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

Знайдіть Vth — напругу холостого ходу

Коли a–b розімкнені, Iₛ може текти лише через R₃ у вузол A. Знайдіть V_A накладанням V₁ та Iₛ, потім додайте спад на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,571 + (−3)·8,571 = −22,14 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −22,14 + (−3)·20 = −82,14 V
Rth​ = 28,57 Ω−+Vth​82,14 VRL​12 ΩIL​

Підключіть навантаження до еквівалента Тевенена

Джерело Тевенена і послідовний R_th поводяться на a–b точно як початкове коло, тож навантаження бачить простий послідовний контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = −82,14/(28,57 + 12) = −2,025 A
PL = IL²·RL = −2,025²·12 = 49,19 W
7.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 1,073 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0,6667 ms
i(∞) = Vs/R = 10/33 = 0,303 A

Виразіть час

0,8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)
t = −0,6667·ln(0,2) = 1,073 ms

Відповідь

t = 1,073 ms
8.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: R = 3,107 kΩ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Потрібна стала часу

7,2 = 9·(1 − e−500/τ) → τ = 500/ln(9/(9 − 7,2))
τ = 500/1,609 = 310,7 ms

Опір

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

R = τ/C = 310,7/100 = 3,107 kΩ

Відповідь

R = 3,107 kΩ
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 3,245 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

XL = 31,42 Ω, XC = 72,34 Ω

Повний опір

|Z| = √(10² + (−40,93)²) = 42,13 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 24/42,13 = 0,5696 A
P = I²·R = 0,5696²·10 = 3,245 W

Відповідь

P = 3,245 W
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VL = 2,917 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·4,7·10⁻⁶) = 1459 rad/s
I = V/R = 1/50 = 0,02 A

Напруга на котушці

XL = ω₀L = 1459·0,1 = 145,9 Ω
VL = I·XL = 0,02·145,9 = 2,917 V

Відповідь

VL = 2,917 V

Це в Q = 2,917 разів більше за напругу мережі.

11.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: Q = 161,3 var

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Струм

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4,8 A

Реактивна потужність

Q = I²·X = 4,8²·7 = 161,3 var

Відповідь

Q = 161,3 var
12.Потужність змінного струму й коефіцієнт потужності

Відповідь: cos φ = 0,7197

Потужність змінного струму: повна потужність S = V·I (VA) складається з активної потужності P = S·cos φ (W), що виконує корисну роботу, і реактивної потужності Q = S·sin φ (var), що коливається між джерелом і навантаженням. Коефіцієнт потужності — cos φ. Паралельний конденсатор постачає реактивну потужність на місці, тож струм лінії зменшується за тієї самої активної потужності.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність P не змінюється; змінюється лише реактивна потужність із мережі.

Q1 = 30·tan(arccos 0,6) = 40 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·220·10⁻⁶ = 11058 var = 11,06 kvar
Q2 = 40 − 11,06 = 28,94 kvar

Нова повна потужність

S2 = √(30² + 28,94²) = 41,68 kVA

Новий коефіцієнт потужності

cos φ = P/S2 = 30/41,68 = 0,7197

Відповідь

cos φ = 0,7197
13.Трифазні системи

Відповідь: P = 36,86 kW

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазна напруга

Vph = VL = 480 V

Фазний струм

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 480/15 = 32 A

Сумарна активна потужність

Активну потужність поглинає лише активна складова кожного опору.

P = 3·Iph²·R = 3·32²·12 = 36,86 kW

Відповідь

P = 36,86 kW

Перевірка: cos φ = R/|Z| = 0,8, і √3·VL·IL·cos φ дає ту саму потужність.

14.Трифазні системи

Відповідь: QC = 32,4 kvar

Симетричні трифазні системи: у з’єднанні зіркою (Y) лінійна напруга в √3 разів більша за фазну, VL = √3·Vph, а лінійний струм дорівнює фазному. У з’єднанні трикутником (Δ) лінійна напруга дорівнює фазній, а лінійний струм у √3 разів більший за фазний, IL = √3·Iph. Сумарна потужність утричі більша за потужність однієї фази: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсація реактивної потужності: конденсатори постачають реактивну потужність на місці, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Кожен із трьох конденсаторів дає QC/3 = V²·ω·C, де V — напруга на цьому конденсаторі: VL у батареї, з’єднаній трикутником, VL/√3 — у батареї, з’єднаній зіркою.

Реактивна потужність до і після

Активна потужність не змінюється, тож кожен коефіцієнт потужності визначає реактивну потужність: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar

Реактивна потужність від конденсаторів

QC = Q1 − Q2 = 32,4 kvar

Відповідь

QC = 32,4 kvar
15.Трансформатори

Відповідь: I1 = 2,4 A

Ідеальний трансформатор: напруги відносяться як кількості витків, а струми — обернено: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a і I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, тож вхідна потужність дорівнює вихідній, V₁·I₁ = V₂·I₂. Опір навантаження Z у вторинному колі з боку первинної обмотки виглядає як a²·Z.

Вторинні напруга й струм

V2 = 2400/10 = 240 V
I2 = 240/10 = 24 A

Первинний струм

Ідеальний трансформатор не має втрат: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/10 = 2,4 A

Відповідь

I1 = 2,4 A

Перевірка: навантаження з боку первинної обмотки a²·RL = 1000 Ω, і 2400/1000 дає той самий струм.

16.Трансформатори

Відповідь: Ploss = 481,3 W

Втрати в трансформаторі: втрати в сталі (гістерезис і вихрові струми) залежать від напруги й однакові за будь-якого навантаження. Втрати в міді обмоток пропорційні квадрату струму, тож при частці навантаження x від номінального вони становлять x²·Pcu,fl. ККД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), де Pout = x·S·pf. ККД максимальний при навантаженні, за якого втрати в міді дорівнюють втратам у сталі.

Втрати в міді при цьому навантаженні

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,5625·500 = 281,3 W

Сумарні втрати

Втрати в сталі однакові за будь-якого навантаження.

Ploss = 200 + 281,3 = 481,3 W

Відповідь

Ploss = 481,3 W

ККД при цьому навантаженні η = 97,23%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals