Електроніка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Діоди й транзистори

Діод (постійний спад): V_D = 0,7 V when conducting
Активний режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фіксоване зміщення: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Зміщення дільником: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Еквівалент Тевенена дільника: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Колекторний контур: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насичення: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

DC-DC перетворювачі

Знижувальний: V_o = D·V_in
Підвищувальний: V_o = V_in/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей: V_inI_in = V_oI_o
Пульсації струму котушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Середній струм котушки: знижувальний I_o; підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o/(1 − D)
Пульсації виходу: знижувальний ΔI_L/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів: знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔI_L/2.

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

2Задачі для практики

1.Діоди й транзисториСередня

NPN-транзистор з β = 100 має зміщення дільником напруги від V_CC = 18 V: R₁ = 56 kΩ від V_CC до бази й R₂ = 6,8 kΩ від бази до землі. Колекторний резистор R_C = 2,7 kΩ, емітерний резистор R_E = 680 Ω. Візьміть V_BE = 0,7 V і використайте еквівалент Тевенена дільника (не нехтуйте струмом бази). Знайдіть напругу колектор–емітер V_CE.

V_CC = 18 VR₁ = 56 kΩR₂ = 6,8 kΩR_C = 2,7 kΩR_E = 680 Ωβ = 100

V_CE = V

2.Діоди й транзисториСкладна

Стабілізатор на стабілітроні 5,1 В має послідовний резистор 220 Ом. Вхідна напруга може зрости до 18 В, а навантаження може бути відключене. Знайдіть найбільшу потужність P_Z,max, яку має розсіювати стабілітрон.

V_in,max = 18 VV_Z = 5,1 VR = 220 Ω

P_Z,max = mW

3.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V_in = −1,5 VR₁ = 22 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

4.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Відношення опорів не узгоджені. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V₁ = 1,2 VV₂ = 1,5 VR₁ = 10 kΩR₂ = 22 kΩR₃ = 4,7 kΩR₄ = 47 kΩ

V_out = V

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть сталу часу τ кола після замикання ключа.

V_s = 6 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 10 µF

τ = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм i₂ через R₂ при t = 250 ms.

V_s = 24 VR₁ = 1 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 68 µFt = 250 ms

i₂ = mA

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

9.DC-DC перетворювачіСередня

Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 9 V на 30 V для навантаження 5 Ω. Знайдіть середній струм котушки I_L.

Vin = 9 VVo = 30 VR = 5 Ω

I_L = A

10.DC-DC перетворювачіСкладна

Ідеальний інвертувальний знижувально-підвищувальний перетворювач перетворює 24 V на −72 V для навантаження 10 Ω на частоті 200 kHz. Знайдіть найменшу індуктивність L_crit для режиму безперервних струмів.

Vin = 24 VVo = −72 Vf = 200 kHzR = 10 Ω

L_crit = µH

11.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Міст має чотири плеча по 120 Ω і V_s = 12 V. Датчик R₂ збільшується на ΔR = 0,48 Ω. У наближенні малих змін знайдіть вихід V_ab у mV.

V_s = 12 VR = 120 ΩΔR = 0,48 Ω

V_ab = mV

12.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Міст із плечима по 350 Ω живиться від 5 V і має чотири активні тензорезистори, два розтягнуті й два стиснуті (повний міст). Коефіцієнт тензочутливості — 2,05, деформація — 200 µε. Знайдіть вихід мосту V_o у mV.

V_s = 5 VGF = 2,05ε = 200 µε

V_o = mV

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Скористайтеся картою Карно, щоб знайти мінімальну форму суми добутків (SOP) для F(A, B, C) = Σm(1, 3, 5). Скільки добутків N вона має?

F(A, B, C) = Σm(1, 3, 5)

N =

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

Синхронний лічильник за модулем 7 рахує 0, 1, …, 6, а потім повертається до 0. Він починає з 1. Яке значення Q (у десятковому вигляді) він покаже після 23 імпульсів такту?

Q₀ = 123N = 7

Q =

3Розчини

1.Діоди й транзистори

Відповідь: V_CE = 12,34 V

Робоча точка БТ: в активному режимі V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B і I_E = (β + 1)·I_B. Знайдіть I_B з базового контуру за ЗНК, потім I_C, потім V_CE з контуру колектор–емітер. Дільник напруги в колі бази замінюють його еквівалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; емітерний резистор у базовому контурі виглядає в (β + 1) разів більшим.

Еквівалент Тевенена дільника

V_TH = 18·6,8/(56 + 6,8) = 1,949 V

R_TH = 56·6,8/(56 + 6,8) = 6,064 kΩ

Струм бази

ЗНК для базового контуру; струм емітера дорівнює (β + 1)·I_B.

I_B = (1,949 − 0,7)/(6,064 + 101·0,68) = 16,71 µA

Струм колектора

I_C = 100·16,71 µA = 1,671 mA

I_E = 101·16,71 µA = 1,688 mA

Напруга колектор–емітер

V_CE = 18 − 1,671·2,7 − 1,688·0,68 = 12,34 V

Відповідь

V_CE = 12,34 V

2.Діоди й транзистори

Відповідь: P_Z,max = 299 mW

Стабілізатор на стабілітроні: стабілітрон, увімкнений у зворотному напрямку, тримає напругу V_Z, поки його струм вищий за мінімальний I_Z,min. Послідовний резистор R бере різницю між вхідною та вихідною напругою: I_R = (V_in − V_Z)/R. Цей струм ділиться між навантаженням, I_L = V_Z/R_L, і стабілітроном: I_Z = I_R − I_L. Проєктуйте за найгіршими випадками: найнижча вхідна напруга при найбільшому навантаженні має все ж лишати I_Z,min, а найвища вхідна напруга без навантаження дає найбільшу потужність стабілітрона P_Z = V_Z·I_Z.

Струм стабілітрона в найгіршому випадку

I_Z = 12,9/220 = 58,64 mA

Потужність стабілітрона

P_Z = 5,1·58,64 = 299 mW

Відповідь

P_Z,max = 299 mW

3.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = −8,318 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Інвертувальний вхід повторює вхід

V₋ = V₊ = −1,5 V

I = V₋/R₁ = −1,5/22 = −0,06818 mA

Вихідна напруга

Струм через R₁ тече й через R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −1,5 + (−0,06818)·100 = −8,318 V

Відповідь

V_out = −8,318 V

4.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = 1,724 V

Напруга на вході +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,5·47/(4,7 + 47) = 1,364 V

Накладіть дію двох входів

При V₂ = 0 для V₁ схема — інвертувальний підсилювач. При V₁ = 0 V₊ підсилюється з коефіцієнтом неінвертувального підсилювача 1 + R₂/R₁.

V_out = −(22/10)·1,2 + (1 + 22/10)·1,364 = −2,64 + 4,364 = 1,724 V

Відповідь

V_out = 1,724 V

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: τ = 13,2 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·3,3/(2,2 + 3,3) = 1,32 kΩ

v_C(∞) = 6·3,3/(2,2 + 3,3) = 3,6 V

Стала часу

τ = R_th·C = 1,32·10 = 13,2 ms

Відповідь

τ = 13,2 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i₂ = 1,792 mA

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 24·6,8/(1 + 6,8) = 20,92 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 6,8·68 = 462,4 ms

Розряджання

v_C(t) = 20,92·e^−250/462,4 = 12,18 V

i₂ = v_C/R₂ = 12,18/6,8 = 1,792 mA

Відповідь

i₂ = 1,792 mA

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 2,978 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 3 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 4·13/(4+13) = 3,059 Ω

R_eq = R₁ + 3,059 = 5 + 3,059 = 8,059 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/8,059 = 2,978 A

Відповідь

I_R1 = 2,978 A

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,646 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 3 + 25 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 4,242 Ω

R₃ + 4,242 = 12,24 Ω

R₂ ∥ 12,24 = 8,218 Ω

R_eq = R₁ + 8,218 = 15 + 8,218 = 23,22 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/23,22 = 0,646 A

Відповідь

I_R1 = 0,646 A

9.DC-DC перетворювачі

Відповідь: I_L = 20 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний V_o = D·V_in, підвищувальний V_o = V_in/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |V_o| = V_in·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: V_in·I_in = V_o·I_o. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔI_L = V_L·D·T/L, де V_L = V_in − V_o для знижувального й V_in для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для знижувального й I_o·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔI_L/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 1 − 9/30 = 0,7

Струм навантаження

I_o = 30/5 = 6 A

Струм котушки

I_L = I_o/(1 − D) = 6/0,3 = 20 A

Відповідь

I_L = 20 A

10.DC-DC перетворювачі

Відповідь: L_crit = 1,563 µH

Коефіцієнт заповнення

D = 72/(24 + 72) = 0,75

Умова на межі

Прирівняйте середній струм котушки до половини струму пульсацій і розв’яжіть відносно L.

L_crit = (1 − D)²·R/(2f)

Критична індуктивність

L_crit = (1 − 0,75)²·10/(2200·10³) = 1,563 µH

Відповідь

L_crit = 1,563 µH

11.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_ab = 12 mV

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Відносна зміна

ΔR/R = 0,48/120 = 0,004

Лінеаризований вихід

V_ab ≈ 12·0,004/4 = 12 mV

Відповідь

V_ab = 12 mV

Точне значення становить 11,98 mV; наближення добре, поки ΔR/R мале.

12.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_o = 2,05 mV

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Відносна зміна опору

ΔR/R = 2,05·200·10⁻⁶ = 0,00041

Вихід мосту

V_o = V_s·GF·ε = 5·0,00041 = 2,05 mV

Відповідь

V_o = 2,05 mV

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 2

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

Згрупуйте одиниці

Кожна група — це прямокутник із 2ᵏ клітинок; крайні клітинки є сусідами клітинок на протилежному краї.

B′C

A′C

Мінімальна форма SOP

F = B′C + A′C

N = 2

Відповідь

N = 2

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: Q = 3

Тригери та лічильники: тригер змінюється лише за активним фронтом такту. D копіює свій вхід (Q⁺ = D); T перемикається, коли T = 1; JK зберігає стан за 00, скидає за 01, встановлює за 10 і перемикає за 11. n-розрядний двійковий лічильник має 2ⁿ станів і рахує за модулем 2ⁿ; лічильник за модулем N рахує 0, 1, …, N − 1 і повертається до 0, і йому потрібне найменше n, для якого 2ⁿ ≥ N тригерів. Кожен ступінь послідовного лічильника ділить частоту навпіл, тож останній вихід лічильника за модулем N має частоту f_clk/N. Лічильник Джонсона з n тригерів має 2n станів, кільцевий — n.

Повні цикли

Кожні 7 імпульсів повертають лічильник у той самий стан.

23 = 3·7 + 2

Значення після решти імпульсів

Q = (1 + 2) mod 7 = 3

Q = 011₂

Відповідь

Q = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1