Електроніка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Діоди й транзистори

Діод (постійний спад): V_D = 0,7 V when conducting
Активний режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фіксоване зміщення: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Зміщення дільником: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Еквівалент Тевенена дільника: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Колекторний контур: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насичення: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

DC-DC перетворювачі

Знижувальний: V_o = D·V_in
Підвищувальний: V_o = V_in/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей: V_inI_in = V_oI_o
Пульсації струму котушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Середній струм котушки: знижувальний I_o; підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o/(1 − D)
Пульсації виходу: знижувальний ΔI_L/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів: знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔI_L/2.

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

2Задачі для практики

1.Діоди й транзисториСередня

NPN-транзистор з β = 100 зміщено базовим резистором R_B = 560 kΩ від джерела живлення V_CC = 15 V. Колекторний резистор R_C = 1 kΩ, емітер заземлено. Візьміть V_BE = 0,7 V і вважайте, що транзистор в активному режимі. Знайдіть струм колектора I_C у mA.

V_CC = 15 VR_B = 560 kΩR_C = 1 kΩβ = 100V_BE = 0,7 V

I_C = mA

2.Діоди й транзисториСкладна

NPN-транзистор з β = 200 комутує резистор навантаження 330 Ω, увімкнений між V_CC = 5 V і його колектором. Емітер заземлено. Базу керують від логічного виходу 3,3 V через базовий резистор R_B. Візьміть V_BE = 0,7 V і V_CE(sat) = 0,2 V. Для надійного перемикання розрахуйте струм бази в 10 разів більшим за мінімально потрібний для насичення. Знайдіть R_B у kΩ.

V_CC = 5 VR_C = 330 Ωβ = 200V_in = 3,3 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 Vкоефіцієнт перенасичення = 10

R_B = kΩ

3.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V; його вихід насичується на рівні ±14 V. На неінвертувальний підсилювач подається синусоїдальний сигнал. Знайдіть найбільшу амплітуду вхідного сигналу V_in,max (пікове значення), за якої вихідний сигнал не обмежується.

R₁ = 1 kΩR_f = 4,7 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

4.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Відношення опорів не узгоджені. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V₁ = 1,5 VV₂ = 1 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 2 kΩR₃ = 100 kΩR₄ = 22 kΩ

V_out = V

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 2,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 0,25 A? Знайдіть t.

i(0) = 2,5 AR = 68 ΩL = 100 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 3 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 15,6 V? Знайдіть t.

V_s = 24 VR = 6,8 kΩC = 10 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

9.DC-DC перетворювачіСередня

Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 24 V на 40 V для навантаження 25 Ω. Знайдіть середній струм котушки I_L.

Vin = 24 VVo = 40 VR = 25 Ω

I_L = A

10.DC-DC перетворювачіСкладна

Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 48 V на 160 V для навантаження 50 Ω на частоті 50 kHz. Знайдіть найменшу індуктивність L_crit для режиму безперервних струмів.

Vin = 48 VVo = 160 Vf = 50 kHzR = 50 Ω

L_crit = µH

11.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Міст має чотири плеча по 200 Ω і V_s = 15 V. Датчик R₂ збільшується на ΔR = 10 Ω. Знайдіть точний вихід V_ab у mV.

V_s = 15 VR = 200 ΩΔR = 10 Ω

V_ab = mV

12.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Міст із плечима по 350 Ω живиться від 3 V і має чотири активні тензорезистори, два розтягнуті й два стиснуті (повний міст). Коефіцієнт тензочутливості — 2,05, деформація — 250 µε. Знайдіть вихід мосту V_o у mV.

V_s = 3 VGF = 2,05ε = 250 µε

V_o = mV

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Скористайтеся картою Карно, щоб знайти мінімальну форму добутку сум (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 15). Скільки доданків-сум (множників) N вона має?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 15)

N =

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

Знайдіть мінімальну форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 6, 7, 9, 10, 12) + d(1, 3, 15), де d позначає байдужі стани. Скільки літералів L вона містить?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 6, 7, 9, 10, 12) + d(1, 3, 15)

L =

3Розчини

1.Діоди й транзистори

Відповідь: I_C = 2,554 mA

Робоча точка БТ: в активному режимі V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B і I_E = (β + 1)·I_B. Знайдіть I_B з базового контуру за ЗНК, потім I_C, потім V_CE з контуру колектор–емітер. Дільник напруги в колі бази замінюють його еквівалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; емітерний резистор у базовому контурі виглядає в (β + 1) разів більшим.

Струм бази

I_B = (V_CC − V_BE)/R_B = (15 − 0,7)/560 kΩ = 25,54 µA

Струм колектора

I_C = β·I_B = 100·25,54 µA = 2,554 mA

Відповідь

I_C = 2,554 mA

Перевірка: V_CE = 12,45 V значно більше за 0,2 V, тож транзистор справді в активному режимі.

2.Діоди й транзистори

Відповідь: R_B = 3,575 kΩ

БТ як ключ: щоб повністю ввімкнути навантаження, транзистор переводять у насичення, де V_CE = V_CE(sat), а струм колектора визначається навантаженням: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насичення потрібен струм бази щонайменше I_B = I_C(sat)/β. Якщо струм бази менший, транзистор залишається в активному режимі й I_C = β·I_B.

Струм колектора в насиченні

I_C(sat) = (5 − 0,2)/330 = 14,55 mA

Мінімальний струм бази

I_B(min) = I_C(sat)/β = 14,55/200 = 72,73 µA

Розрахунковий струм бази

I_B = 10·72,73 µA = 727,3 µA

Базовий резистор

R_B = (3,3 − 0,7)/I_B = 2,6 V/0,7273 mA = 3,575 kΩ

Відповідь

R_B = 3,575 kΩ

3.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_in,max = 2,456 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 4,7/1 = 5,7

Найбільший вхідний сигнал без обмеження

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/5,7 = 2,456 V

Відповідь

V_in,max = 2,456 V

4.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = −0,3812 V

Напруга на вході +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1·22/(100 + 22) = 0,1803 V

Накладіть дію двох входів

При V₂ = 0 для V₁ схема — інвертувальний підсилювач. При V₁ = 0 V₊ підсилюється з коефіцієнтом неінвертувального підсилювача 1 + R₂/R₁.

V_out = −(2/4,7)·1,5 + (1 + 2/4,7)·0,1803 = −0,6383 + 0,2571 = −0,3812 V

Відповідь

V_out = −0,3812 V

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 3,386 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1,471 ms

Виразіть час

0,25 = 2,5·e^−t/τ → t = τ·ln(2,5/0,25)

t = 1,471·ln(10) = 3,386 ms

Відповідь

t = 3,386 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 62,31 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 10 µF = 68 ms

v_C(t) = 24 + (3 − 24)·e^−t/τ

Виразіть час

15,6 = 24 + (−21)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15,6 − 24)/(3 − 24) = 0,4

t = τ·ln((3 − 24)/(15,6 − 24)) = 68·ln(2,5) = 62,31 ms

Відповідь

t = 62,31 ms

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 4,81 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 2·19/(2+19) = 1,81 Ω

R_eq = R₁ + 1,81 = 3 + 1,81 = 4,81 Ω

Відповідь

R_eq = 4,81 Ω

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,1441 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 25 + 25 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 9,677 Ω

R₃ + 9,677 = 21,68 Ω

R₂ ∥ 21,68 = 4,699 Ω

R_eq = R₁ + 4,699 = 30 + 4,699 = 34,7 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/34,7 = 0,1441 A

Відповідь

I_R1 = 0,1441 A

9.DC-DC перетворювачі

Відповідь: I_L = 2,667 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний V_o = D·V_in, підвищувальний V_o = V_in/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |V_o| = V_in·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: V_in·I_in = V_o·I_o. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔI_L = V_L·D·T/L, де V_L = V_in − V_o для знижувального й V_in для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для знижувального й I_o·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔI_L/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 1 − 24/40 = 0,4

Струм навантаження

I_o = 40/25 = 1,6 A

Струм котушки

I_L = I_o/(1 − D) = 1,6/0,6 = 2,667 A

Відповідь

I_L = 2,667 A

10.DC-DC перетворювачі

Відповідь: L_crit = 31,5 µH

Коефіцієнт заповнення

D = 1 − 48/160 = 0,7

Умова на межі

Прирівняйте середній струм котушки до половини струму пульсацій і розв’яжіть відносно L.

L_crit = D(1 − D)²·R/(2f)

Критична індуктивність

L_crit = 0,7(1 − 0,7)²·50/(250·10³) = 31,5 µH

Відповідь

L_crit = 31,5 µH

11.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_ab = 182,9 mV

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напруги вузлів

V_a = 15·210/410 = 7,683 V

V_b = 7,5 V

Виведення

V_ab = 182,9 mV

Відповідь

V_ab = 182,9 mV

Лінійна оцінка V_s·ΔR/(4R) = 187,5 mV завищена на 2,5 %: чвертьміст не зовсім лінійний.

12.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_o = 1,537 mV

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Відносна зміна опору

ΔR/R = 2,05·250·10⁻⁶ = 0,0005125

Вихід мосту

V_o = V_s·GF·ε = 3·0,0005125 = 1,537 mV

Відповідь

V_o = 1,537 mV

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 3

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

Згрупуйте нулі

Кожна група — це прямокутник із 2ᵏ клітинок; крайні клітинки є сусідами клітинок на протилежному краї.

(B + C′ + D′)

(B′ + C + D)

(A′ + B + D)

Мінімальна форма POS

F = (B + C′ + D′)(B′ + C + D)(A′ + B + D)

N = 3

Відповідь

N = 3

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: L = 19

Прості імпліканти

Найбільші групи, які можна утворити з одиниць і X.

B′C′D, BCD, A′D, A′B′C′, A′BC, AB′CD′, ABC′D′

Мінімальне покриття

F = B′C′D + A′D + A′B′C′ + A′BC + AB′CD′ + ABC′D′

L = 19

Відповідь

L = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1