Електроніка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Діоди й транзистори

Діод (постійний спад): V_D = 0,7 V when conducting
Активний режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фіксоване зміщення: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Зміщення дільником: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Еквівалент Тевенена дільника: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Колекторний контур: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насичення: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

DC-DC перетворювачі

Знижувальний: V_o = D·V_in
Підвищувальний: V_o = V_in/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей: V_inI_in = V_oI_o
Пульсації струму котушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Середній струм котушки: знижувальний I_o; підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o/(1 − D)
Пульсації виходу: знижувальний ΔI_L/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів: знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔI_L/2.

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

2Задачі для практики

1.Діоди й транзисториСередня

4 червоні світлодіодів (пряма напруга 2 В кожен) з’єднано послідовно з резистором до джерела 24 В. Знайдіть опір R, що задає струм 20 мА.

V_s = 24 VV_F = 2 Vn = 4I = 20 mA

R = Ω

2.Діоди й транзисториСкладна

Стабілізатор на стабілітроні 6,2 В має послідовний резистор 270 Ом. Вхідна напруга може зрости до 22 В, а навантаження може бути відключене. Знайдіть найбільшу потужність P_Z,max, яку має розсіювати стабілітрон.

V_in,max = 22 VV_Z = 6,2 VR = 270 Ω

P_Z,max = mW

3.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

Диференціальний підсилювач використовує ідеальний ОП із живленням ±15 V, R₃ = R₁ і R₄ = R₂. Знайдіть напругу V₋ на інвертувальному вході.

V₁ = −0,1 VV₂ = 2 VR₁ = R₃ = 2 kΩR₂ = R₄ = 1 kΩ

V₋ = V

4.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Відношення опорів не узгоджені. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V₁ = −1,5 VV₂ = −1,4 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 22 kΩR₃ = 22 kΩR₄ = 4,7 kΩ

V_out = V

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

V_s = 24 VR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 9 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 5,4 V, рівно через 500 ms після старту. При R = 100 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 9 VV_th = 5,4 VT = 500 msR = 100 kΩ

C = µF

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

9.DC-DC перетворювачіСередня

Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 24 V на 48 V для навантаження 12 Ω. Знайдіть середній струм котушки I_L.

Vin = 24 VVo = 48 VR = 12 Ω

I_L = A

10.DC-DC перетворювачіСкладна

Ідеальний знижувальний перетворювач перетворює 24 V на 9,6 V для навантаження 50 Ω на частоті 250 kHz. Знайдіть найменшу індуктивність L_crit для режиму безперервних струмів.

Vin = 24 VVo = 9,6 Vf = 250 kHzR = 50 Ω

L_crit = µH

11.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Знайдіть опір Тевенена R_th показаного моста з боку вихідних затискачів a і b.

V_s = 6 VR₁ = 1000 ΩR₂ = 300 ΩR₃ = 200 ΩR₄ = 150 Ω

R_th = Ω

12.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Тензорезистор 120 Ω з коефіцієнтом тензочутливості 2 приклеєно до сталевого стрижня. Під навантаженням його опір зростає на 0,144 Ω. Знайдіть деформацію ε у мікродеформаціях (µε).

R = 120 ΩGF = 2ΔR = 0,144 Ω

ε = µε

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Скористайтеся картою Карно, щоб знайти мінімальну форму суми добутків (SOP) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 9, 10, 12). Скільки всього літералів L вона містить (змінна зі штрихом рахується як один літерал)?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 9, 10, 12)

L =

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

Знайдіть мінімальну форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 13) + d(6, 14), де d позначає байдужі стани. Скільки добутків N вона має?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 13) + d(6, 14)

N =

3Розчини

1.Діоди й транзистори

Відповідь: R = 800 Ω

Кола зі світлодіодами та діодами: світлодіод, увімкнений у прямому напрямку, має падіння напруги приблизно V_F (близько 2 В для червоного, 3 В для синього чи білого) незалежно від струму. Послідовний резистор задає струм: R = (V_s − n·V_F)/I для n світлодіодів послідовно. За точнішою моделлю діода V = V₀ + I·r_d робоча точка лежить там, де пряма діода перетинає лінію навантаження I = (V_s − V)/R, тож I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Напруга на резисторі

V_R = 24 − 4·2 = 16 V

Опір

R = 16/0,02 = 800 Ω

Відповідь

R = 800 Ω

Резистор розсіює 320 мВт.

2.Діоди й транзистори

Відповідь: P_Z,max = 362,8 mW

Стабілізатор на стабілітроні: стабілітрон, увімкнений у зворотному напрямку, тримає напругу V_Z, поки його струм вищий за мінімальний I_Z,min. Послідовний резистор R бере різницю між вхідною та вихідною напругою: I_R = (V_in − V_Z)/R. Цей струм ділиться між навантаженням, I_L = V_Z/R_L, і стабілітроном: I_Z = I_R − I_L. Проєктуйте за найгіршими випадками: найнижча вхідна напруга при найбільшому навантаженні має все ж лишати I_Z,min, а найвища вхідна напруга без навантаження дає найбільшу потужність стабілітрона P_Z = V_Z·I_Z.

Струм стабілітрона в найгіршому випадку

I_Z = 15,8/270 = 58,52 mA

Потужність стабілітрона

P_Z = 6,2·58,52 = 362,8 mW

Відповідь

P_Z,max = 362,8 mW

3.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V₋ = 0,6667 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на входах

Через R₃ і R₄ тече однаковий струм, тож вони утворюють подільник напруги; зворотний зв’язок забезпечує V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2·1/(2 + 1) = 0,6667 V

V₋ = V₊

Відповідь

V₋ = 0,6667 V

4.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = 5,621 V

Напруга на вході +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −1,4·4,7/(22 + 4,7) = −0,2464 V

Накладіть дію двох входів

При V₂ = 0 для V₁ схема — інвертувальний підсилювач. При V₁ = 0 V₊ підсилюється з коефіцієнтом неінвертувального підсилювача 1 + R₂/R₁.

V_out = −(22/4,7)·(−1,5) + (1 + 22/4,7)·(−0,2464) = 7,021 + (−1,4) = 5,621 V

Відповідь

V_out = 5,621 V

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,3369 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

i(∞) = V_s/R = 24/68 = 0,3529 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,3529·(1 − e^−1/0,3235) = 0,3369 A

Відповідь

i = 0,3369 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 5,457 µF

Потрібна стала часу

5,4 = 9·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(9/(9 − 5,4))

τ = 500/0,9163 = 545,7 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 545,7/100 = 5,457 µF

Відповідь

C = 5,457 µF

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,5953 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 12·19/(12+19) = 7,355 Ω

R_eq = R₁ + 7,355 = 5 + 7,355 = 12,35 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/12,35 = 0,9713 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,9713·5 = 7,144 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,144/12 = 0,5953 A

Відповідь

I_R2 = 0,5953 A

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,8128 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 20 + 4 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 10,91 Ω

R₃ + 10,91 = 14,91 Ω

R₂ ∥ 14,91 = 1,763 Ω

R_eq = R₁ + 1,763 = 8 + 1,763 = 9,763 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/9,763 = 0,9218 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,9218·8 = 1,626 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,626/2 = 0,8128 A

Відповідь

I_R2 = 0,8128 A

9.DC-DC перетворювачі

Відповідь: I_L = 8 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний V_o = D·V_in, підвищувальний V_o = V_in/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |V_o| = V_in·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: V_in·I_in = V_o·I_o. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔI_L = V_L·D·T/L, де V_L = V_in − V_o для знижувального й V_in для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для знижувального й I_o·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔI_L/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 1 − 24/48 = 0,5

Струм навантаження

I_o = 48/12 = 4 A

Струм котушки

I_L = I_o/(1 − D) = 4/0,5 = 8 A

Відповідь

I_L = 8 A

10.DC-DC перетворювачі

Відповідь: L_crit = 60 µH

Коефіцієнт заповнення

D = 9,6/24 = 0,4

Умова на межі

Прирівняйте середній струм котушки до половини струму пульсацій і розв’яжіть відносно L.

L_crit = (1 − D)·R/(2f)

Критична індуктивність

L_crit = (1 − 0,4)·50/(2250·10³) = 60 µH

Відповідь

L_crit = 60 µH

11.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: R_th = 316,5 Ω

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Джерело замкнене накоротко

R₁∥R₂ = 1000·300/1300 = 230,8 Ω

R₃∥R₄ = 200·150/350 = 85,71 Ω

Опір Тевенена

R_th = 316,5 Ω

Відповідь

R_th = 316,5 Ω

12.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: ε = 600 µε

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Відносна зміна опору

ΔR/R = 0,144/120 = 0,0012

Деформація

ε = 0,0012/2 = 0,0006 = 600 µε

Відповідь

ε = 600 µε

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: L = 21

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

Згрупуйте одиниці

Кожна група — це прямокутник із 2ᵏ клітинок; крайні клітинки є сусідами клітинок на протилежному краї.

BC′D′

A′C′D′

A′BD′

A′B′CD

AB′C′D

AB′CD′

Мінімальна форма SOP

F = BC′D′ + A′C′D′ + A′BD′ + A′B′CD + AB′C′D + AB′CD′

L = 21

Відповідь

L = 21

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 5

Прості імпліканти

Найбільші групи, які можна утворити з одиниць і X.

CD′, B′C′D, AC′D, AB′, A′BC

Мінімальне покриття

F = CD′ + B′C′D + AC′D + AB′ + A′BC

N = 5

Відповідь

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1