Електроніка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Діоди й транзистори

Діод (постійний спад): V_D = 0,7 V when conducting
Активний режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фіксоване зміщення: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Зміщення дільником: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Еквівалент Тевенена дільника: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Колекторний контур: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насичення: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

DC-DC перетворювачі

Знижувальний: V_o = D·V_in
Підвищувальний: V_o = V_in/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей: V_inI_in = V_oI_o
Пульсації струму котушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Середній струм котушки: знижувальний I_o; підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o/(1 − D)
Пульсації виходу: знижувальний ΔI_L/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів: знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔI_L/2.

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

2Задачі для практики

1.Діоди й транзисториСередня

Стабілізатор на стабілітроні 12 В живиться від 20 В через 150 Ом і живить навантаження 1500 Ом. Знайдіть струм стабілітрона I_Z.

V_in = 20 VV_Z = 12 VR = 150 ΩR_L = 1500 Ω

I_Z = mA

2.Діоди й транзисториСкладна

Діод змодельовано як 0,65 В послідовно з 50 Ом (він проводить вище 0,65 В). Він увімкнений послідовно з резистором 100 Ом до джерела 12 В. Знайдіть робочий струм I_D у точці, де лінія діода перетинає лінію навантаження.

V_s = 12 VR = 100 ΩV₀ = 0,65 Vr_d = 50 Ω

I_D = mA

3.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V; його вихід насичується на рівні ±13 V. На неінвертувальний підсилювач подається синусоїдальний сигнал. Знайдіть найбільшу амплітуду вхідного сигналу V_in,max (пікове значення), за якої вихідний сигнал не обмежується.

R₁ = 1 kΩR_f = 4,7 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

4.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Два каскади на ідеальних ОП увімкнено послідовно: інвертувальний підсилювач (R₁, R_f1), за ним неінвертувальний (R₂ на землю, R_f2 у колі зворотного зв’язку). Обидва живляться від ±15 V. Знайдіть загальний коефіцієнт підсилення за напругою A_v = V_out/V_in.

R₁ = 2 kΩR_f1 = 4,7 kΩR₂ = 10 kΩR_f2 = 22 kΩ

A_v =

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 25 ms.

V_s = 5 VR = 10 ΩL = 220 mHt = 25 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 5 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 3,16 V, рівно через 200 ms після старту. При C = 4,7 µF знайдіть потрібний опір R.

V_s = 5 VV_th = 3,16 VT = 200 msC = 4,7 µF

R = kΩ

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC перетворювачіСередня

Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 12 V на 20 V для навантаження 20 Ω. Знайдіть середній струм котушки I_L.

Vin = 12 VVo = 20 VR = 20 Ω

I_L = A

10.DC-DC перетворювачіСкладна

Знижувальний перетворювач перетворює 12 V на 7,2 V для навантаження 5 Ω на частоті 500 kHz при L = 100 µH і C = 470 µF. Знайдіть розмах пульсацій вихідної напруги ΔV_o у mV.

Vin = 12 VVo = 7,2 Vf = 500 kHzL = 100 µHC = 470 µF

ΔV_o = mV

11.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Знайдіть опір Тевенена R_th показаного моста з боку вихідних затискачів a і b.

V_s = 3 VR₁ = 1000 ΩR₂ = 400 ΩR₃ = 1000 ΩR₄ = 50 Ω

R_th = Ω

12.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Тензорезистор (GF = 2) на елементі з E = 210 GPa утворює чвертьміст із живленням 5 V. Вихід показує 1,875 mV. Знайдіть осьове напруження σ у MPa.

V_s = 5 VGF = 2V_o = 1,875 mVE = 210 GPa

σ = MPa

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Спростіть F = A′B′C′ + BC + A′B′ + A′C′ до мінімальної форми суми добутків. Скільки літералів L містить спрощений вираз?

F = A′B′C′ + BC + A′B′ + A′C′

L =

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

T-тригер, що спрацьовує за переднім фронтом, починає з Q = 0 і отримує показані входи на 7 передніх фронтах такту. Скільки разів N змінюється стан Q?

Q₀ = 0T

N =

3Розчини

1.Діоди й транзистори

Відповідь: I_Z = 45,33 mA

Стабілізатор на стабілітроні: стабілітрон, увімкнений у зворотному напрямку, тримає напругу V_Z, поки його струм вищий за мінімальний I_Z,min. Послідовний резистор R бере різницю між вхідною та вихідною напругою: I_R = (V_in − V_Z)/R. Цей струм ділиться між навантаженням, I_L = V_Z/R_L, і стабілітроном: I_Z = I_R − I_L. Проєктуйте за найгіршими випадками: найнижча вхідна напруга при найбільшому навантаженні має все ж лишати I_Z,min, а найвища вхідна напруга без навантаження дає найбільшу потужність стабілітрона P_Z = V_Z·I_Z.

Струм резистора

I_R = 8/150 = 53,33 mA

Струм навантаження

I_L = 12/1500 = 8 mA

Струм стабілітрона

I_Z = 53,33 − 8 = 45,33 mA

Відповідь

I_Z = 45,33 mA

2.Діоди й транзистори

Відповідь: I_D = 75,67 mA

Кола зі світлодіодами та діодами: світлодіод, увімкнений у прямому напрямку, має падіння напруги приблизно V_F (близько 2 В для червоного, 3 В для синього чи білого) незалежно від струму. Послідовний резистор задає струм: R = (V_s − n·V_F)/I для n світлодіодів послідовно. За точнішою моделлю діода V = V₀ + I·r_d робоча точка лежить там, де пряма діода перетинає лінію навантаження I = (V_s − V)/R, тож I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Об’єднайте два рівняння

12 = 0,65 + I·(100 + 50)

Робочий струм

I_D = 11,35/150 = 75,67 mA

V_D = 0,65 + 0,07567·50 = 4,433 V

Відповідь

I_D = 75,67 mA

3.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_in,max = 2,281 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 4,7/1 = 5,7

Найбільший вхідний сигнал без обмеження

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/5,7 = 2,281 V

Відповідь

V_in,max = 2,281 V

4.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: A_v = −7,52

Коефіцієнт підсилення кожного каскаду

A₁ = −R_f1/R₁ = −4,7/2 = −2,35

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 22/10 = 3,2

Загальний коефіцієнт підсилення

A_v = A₁·A₂ = −2,35·3,2 = −7,52

Відповідь

A_v = −7,52

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,3395 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 10 Ω = 22 ms

i(∞) = V_s/R = 5/10 = 0,5 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,5·(1 − e^−25/22) = 0,3395 A

Відповідь

i = 0,3395 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: R = 42,57 kΩ

Потрібна стала часу

3,16 = 5·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(5/(5 − 3,16))

τ = 200/0,9997 = 200,1 ms

Опір

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

R = τ/C = 200,1/4,7 = 42,57 kΩ

Відповідь

R = 42,57 kΩ

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,5347 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 6 + 3 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 4·9/(4+9) = 2,769 Ω

R_eq = R₁ + 2,769 = 5 + 2,769 = 7,769 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/7,769 = 0,7723 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,7723·5 = 2,139 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,139/4 = 0,5347 A

Відповідь

I_R2 = 0,5347 A

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 32,72 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 25 + 5 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 13,64 Ω

R₃ + 13,64 = 21,64 Ω

R₂ ∥ 21,64 = 7,719 Ω

R_eq = R₁ + 7,719 = 25 + 7,719 = 32,72 Ω

Відповідь

R_eq = 32,72 Ω

9.DC-DC перетворювачі

Відповідь: I_L = 1,667 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний V_o = D·V_in, підвищувальний V_o = V_in/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |V_o| = V_in·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: V_in·I_in = V_o·I_o. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔI_L = V_L·D·T/L, де V_L = V_in − V_o для знижувального й V_in для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для знижувального й I_o·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔI_L/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 1 − 12/20 = 0,4

Струм навантаження

I_o = 20/20 = 1 A

Струм котушки

I_L = I_o/(1 − D) = 1/0,6 = 1,667 A

Відповідь

I_L = 1,667 A

10.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔV_o = 0,03064 mV

Коефіцієнт заповнення

D = 7,2/12 = 0,6

Струм пульсацій котушки

ΔI_L = (12 − 7,2)·0,6/(100·10⁻⁶·500·10³) = 0,0576 A

Пульсації виходу

ΔV_o = 0,0576/(8·500·10³·470·10⁻⁶) = 0,03064 mV

Відповідь

ΔV_o = 0,03064 mV

11.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: R_th = 333,3 Ω

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Джерело замкнене накоротко

R₁∥R₂ = 1000·400/1400 = 285,7 Ω

R₃∥R₄ = 1000·50/1050 = 47,62 Ω

Опір Тевенена

R_th = 333,3 Ω

Відповідь

R_th = 333,3 Ω

12.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: σ = 157,5 MPa

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Деформація

ε = 4·0,001875/(5·2) = 0,00075

Напруження

σ = 210·10³ MPa·0,00075 = 157,5 MPa

Відповідь

σ = 157,5 MPa

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: L = 3

Булева алгебра: правила, що спрощують вирази, — це X + X′ = 1 і X·X′ = 0, X + X = X, поглинання X + X·Y = X, правило склеювання X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y і теорема про консенсус XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Закони де Моргана перетворюють (X·Y)′ на X′ + Y′, а (X + Y)′ на X′·Y′. Карта Карно застосовує ці правила графічно: кожна група з двох сусідніх клітинок — це одне застосування XY + XY′ = X.

Мінтерми виразу

A′B′C′ → m(0)

BC → m(3, 7)

A′B′ → m(0, 1)

A′C′ → m(0, 2)

Згрупуйте й зчитайте

F = BC + A′

Порахуйте літерали

L = 3

Відповідь

L = 3

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 2

Тригери та лічильники: тригер змінюється лише за активним фронтом такту. D копіює свій вхід (Q⁺ = D); T перемикається, коли T = 1; JK зберігає стан за 00, скидає за 01, встановлює за 10 і перемикає за 11. n-розрядний двійковий лічильник має 2ⁿ станів і рахує за модулем 2ⁿ; лічильник за модулем N рахує 0, 1, …, N − 1 і повертається до 0, і йому потрібне найменше n, для якого 2ⁿ ≥ N тригерів. Кожен ступінь послідовного лічильника ділить частоту навпіл, тож останній вихід лічильника за модулем N має частоту f_clk/N. Лічильник Джонсона з n тригерів має 2n станів, кільцевий — n.

Q після кожного фронту

T-тригер перемикається за кожним переднім фронтом при T = 1 і зберігає стан при T = 0.

1: T = 0 → Q = 0

2: T = 0 → Q = 0

3: T = 0 → Q = 0

4: T = 0 → Q = 0

5: T = 1 → Q = 1

6: T = 0 → Q = 1

7: T = 1 → Q = 0

Порахуйте зміни

0 → 0 → 0 → 0 → 0 → 1 → 1 → 0

N = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1