Електроніка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Діоди й транзистори

Діод (постійний спад): V_D = 0,7 V when conducting
Активний режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фіксоване зміщення: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Зміщення дільником: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Еквівалент Тевенена дільника: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Колекторний контур: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насичення: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

DC-DC перетворювачі

Знижувальний: V_o = D·V_in
Підвищувальний: V_o = V_in/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей: V_inI_in = V_oI_o
Пульсації струму котушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Середній струм котушки: знижувальний I_o; підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o/(1 − D)
Пульсації виходу: знижувальний ΔI_L/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів: знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔI_L/2.

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

2Задачі для практики

1.Діоди й транзисториСередня

Стабілізатор на стабілітроні 6,2 В живиться від 24 В через 220 Ом і живить навантаження 1500 Ом. Знайдіть струм стабілітрона I_Z.

V_in = 24 VV_Z = 6,2 VR = 220 ΩR_L = 1500 Ω

I_Z = mA

2.Діоди й транзисториСкладна

Діод змодельовано як 0,65 В послідовно з 50 Ом (він проводить вище 0,65 В). Він увімкнений послідовно з резистором 150 Ом до джерела 12 В. Знайдіть робочий струм I_D у точці, де лінія діода перетинає лінію навантаження.

V_s = 12 VR = 150 ΩV₀ = 0,65 Vr_d = 50 Ω

I_D = mA

3.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V_in = 0,5 VR_a = 2 kΩR_b = 22 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

4.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Два каскади на ідеальних ОП увімкнено послідовно: інвертувальний підсилювач (R₁, R_f1), за ним неінвертувальний (R₂ на землю, R_f2 у колі зворотного зв’язку). Обидва живляться від ±15 V. Знайдіть загальний коефіцієнт підсилення за напругою A_v = V_out/V_in.

R₁ = 4,7 kΩR_f1 = 4,7 kΩR₂ = 100 kΩR_f2 = 2 kΩ

A_v =

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 150 ms.

V_s = 12 VR₁ = 1 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 68 µFt = 150 ms

v_C = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 10 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 13 V? Знайдіть t.

V_s = 20 VR = 3,3 kΩC = 220 µFv_C(0) = 10 V

t = ms

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC перетворювачіСередня

Ідеальний інвертувальний знижувально-підвищувальний перетворювач перетворює 15 V на −10 V на частоті 200 kHz при L = 68 µH. Знайдіть розмах струму пульсацій котушки ΔI_L.

Vin = 15 VVo = −10 Vf = 200 kHzL = 68 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC перетворювачіСкладна

Знижувальний перетворювач перетворює 24 V на 12 V для навантаження 8 Ω на частоті 250 kHz при L = 220 µH і C = 10 µF. Знайдіть розмах пульсацій вихідної напруги ΔV_o у mV.

Vin = 24 VVo = 12 Vf = 250 kHzL = 220 µHC = 10 µF

ΔV_o = mV

11.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Міст має чотири плеча по 250 Ω і V_s = 3 V. Датчик R₂ збільшується на ΔR = 20 Ω. Знайдіть точний вихід V_ab у mV.

V_s = 3 VR = 250 ΩΔR = 20 Ω

V_ab = mV

12.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Міст із плечима по 1000 Ω живиться від 10 V і має чотири активні тензорезистори, два розтягнуті й два стиснуті (повний міст). Коефіцієнт тензочутливості — 2,1, деформація — 500 µε. Знайдіть вихід мосту V_o у mV.

V_s = 10 VGF = 2,1ε = 500 µε

V_o = mV

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Скористайтеся картою Карно, щоб знайти мінімальну форму суми добутків (SOP) для F(A, B, C) = Σm(3, 5, 6). Скільки добутків N вона має?

F(A, B, C) = Σm(3, 5, 6)

N =

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

4-розрядний лічильник Джонсона Q₃Q₂Q₁Q₀ починає з 0000. На кожному фронті такту біти зсуваються на одне місце праворуч (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀), а Q₃ отримує інверсію Q₀. Запишіть стан Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ як десяткове число після 4 фронтів такту.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00004

Q =

3Розчини

1.Діоди й транзистори

Відповідь: I_Z = 76,78 mA

Стабілізатор на стабілітроні: стабілітрон, увімкнений у зворотному напрямку, тримає напругу V_Z, поки його струм вищий за мінімальний I_Z,min. Послідовний резистор R бере різницю між вхідною та вихідною напругою: I_R = (V_in − V_Z)/R. Цей струм ділиться між навантаженням, I_L = V_Z/R_L, і стабілітроном: I_Z = I_R − I_L. Проєктуйте за найгіршими випадками: найнижча вхідна напруга при найбільшому навантаженні має все ж лишати I_Z,min, а найвища вхідна напруга без навантаження дає найбільшу потужність стабілітрона P_Z = V_Z·I_Z.

Струм резистора

I_R = 17,8/220 = 80,91 mA

Струм навантаження

I_L = 6,2/1500 = 4,133 mA

Струм стабілітрона

I_Z = 80,91 − 4,133 = 76,78 mA

Відповідь

I_Z = 76,78 mA

2.Діоди й транзистори

Відповідь: I_D = 56,75 mA

Кола зі світлодіодами та діодами: світлодіод, увімкнений у прямому напрямку, має падіння напруги приблизно V_F (близько 2 В для червоного, 3 В для синього чи білого) незалежно від струму. Послідовний резистор задає струм: R = (V_s − n·V_F)/I для n світлодіодів послідовно. За точнішою моделлю діода V = V₀ + I·r_d робоча точка лежить там, де пряма діода перетинає лінію навантаження I = (V_s − V)/R, тож I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Об’єднайте два рівняння

12 = 0,65 + I·(150 + 50)

Робочий струм

I_D = 11,35/200 = 56,75 mA

V_D = 0,65 + 0,05675·50 = 3,487 V

Відповідь

I_D = 56,75 mA

3.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = 2,75 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на вході +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 0,5·22/(2 + 22) = 0,4583 V

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊, і струм через R₁ тече також через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,4583·(1 + 10/2) = 2,75 V

Відповідь

V_out = 2,75 V

4.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: A_v = −1,02

Коефіцієнт підсилення кожного каскаду

A₁ = −R_f1/R₁ = −4,7/4,7 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 2/100 = 1,02

Загальний коефіцієнт підсилення

A_v = A₁·A₂ = −1·1,02 = −1,02

Відповідь

A_v = −1,02

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 8,689 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·3,3/(1 + 3,3) = 0,7674 kΩ

v_C(∞) = 12·3,3/(1 + 3,3) = 9,209 V

Стала часу

τ = R_th·C = 0,7674·68 = 52,19 ms

Крива заряджання

v_C(t) = 9,209·(1 − e^−150/52,19) = 8,689 V

Відповідь

v_C = 8,689 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 258,9 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 220 µF = 726 ms

v_C(t) = 20 + (10 − 20)·e^−t/τ

Виразіть час

13 = 20 + (−10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (13 − 20)/(10 − 20) = 0,7

t = τ·ln((10 − 20)/(13 − 20)) = 726·ln(1,429) = 258,9 ms

Відповідь

t = 258,9 ms

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,6729 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 6 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 3·16/(3+16) = 2,526 Ω

R_eq = R₁ + 2,526 = 20 + 2,526 = 22,53 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/22,53 = 0,7991 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0,7991·20 = 2,019 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,019/3 = 0,6729 A

Відповідь

I_R2 = 0,6729 A

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 23,67 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 14,21 Ω

R₃ + 14,21 = 44,21 Ω

R₂ ∥ 44,21 = 3,668 Ω

R_eq = R₁ + 3,668 = 20 + 3,668 = 23,67 Ω

Відповідь

R_eq = 23,67 Ω

9.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔI_L = 0,4412 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний V_o = D·V_in, підвищувальний V_o = V_in/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |V_o| = V_in·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: V_in·I_in = V_o·I_o. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔI_L = V_L·D·T/L, де V_L = V_in − V_o для знижувального й V_in для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для знижувального й I_o·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔI_L/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 10/(15 + 10) = 0,4

Напруга на котушці під час увімкненого стану

Поки S увімкнений, котушка підключена безпосередньо до V_in.

V_L = 15 V

Струм пульсацій

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 15·0,4/(68·10⁻⁶·200·10³) = 0,4412 A

Відповідь

ΔI_L = 0,4412 A

10.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔV_o = 5,455 mV

Коефіцієнт заповнення

D = 12/24 = 0,5

Струм пульсацій котушки

ΔI_L = (24 − 12)·0,5/(220·10⁻⁶·250·10³) = 0,1091 A

Пульсації виходу

ΔV_o = 0,1091/(8·250·10³·10·10⁻⁶) = 5,455 mV

Відповідь

ΔV_o = 5,455 mV

11.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_ab = 57,69 mV

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напруги вузлів

V_a = 3·270/520 = 1,558 V

V_b = 1,5 V

Виведення

V_ab = 57,69 mV

Відповідь

V_ab = 57,69 mV

Лінійна оцінка V_s·ΔR/(4R) = 60 mV завищена на 4 %: чвертьміст не зовсім лінійний.

12.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_o = 10,5 mV

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Відносна зміна опору

ΔR/R = 2,1·500·10⁻⁶ = 0,00105

Вихід мосту

V_o = V_s·GF·ε = 10·0,00105 = 10,5 mV

Відповідь

V_o = 10,5 mV

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 3

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

Згрупуйте одиниці

Кожна група — це прямокутник із 2ᵏ клітинок; крайні клітинки є сусідами клітинок на протилежному краї.

A′BC

AB′C

ABC′

Мінімальна форма SOP

F = A′BC + AB′C + ABC′

N = 3

Відповідь

N = 3

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: Q = 15

Тригери та лічильники: тригер змінюється лише за активним фронтом такту. D копіює свій вхід (Q⁺ = D); T перемикається, коли T = 1; JK зберігає стан за 00, скидає за 01, встановлює за 10 і перемикає за 11. n-розрядний двійковий лічильник має 2ⁿ станів і рахує за модулем 2ⁿ; лічильник за модулем N рахує 0, 1, …, N − 1 і повертається до 0, і йому потрібне найменше n, для якого 2ⁿ ≥ N тригерів. Кожен ступінь послідовного лічильника ділить частоту навпіл, тож останній вихід лічильника за модулем N має частоту f_clk/N. Лічильник Джонсона з n тригерів має 2n станів, кільцевий — n.

Стан після кожного фронту

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111

Десяткове значення

1111₂ = 15

Відповідь

Q = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1