Електроніка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Діоди й транзистори

Діод (постійний спад): V_D = 0,7 V when conducting
Активний режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фіксоване зміщення: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Зміщення дільником: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Еквівалент Тевенена дільника: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Колекторний контур: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насичення: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

DC-DC перетворювачі

Знижувальний: V_o = D·V_in
Підвищувальний: V_o = V_in/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей: V_inI_in = V_oI_o
Пульсації струму котушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Середній струм котушки: знижувальний I_o; підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o/(1 − D)
Пульсації виходу: знижувальний ΔI_L/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів: знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔI_L/2.

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

2Задачі для практики

1.Діоди й транзисториСередня

2 червоні світлодіодів (пряма напруга 2 В кожен) з’єднано послідовно з резистором до джерела 24 В. Знайдіть опір R, що задає струм 25 мА.

V_s = 24 VV_F = 2 Vn = 2I = 25 mA

R = Ω

2.Діоди й транзисториСкладна

NPN-транзистор з β = 100 комутує резистор навантаження 100 Ω, увімкнений між V_CC = 12 V і його колектором. Емітер заземлено. Базу керують від логічного виходу 3,3 V через базовий резистор R_B. Візьміть V_BE = 0,7 V і V_CE(sat) = 0,2 V. Для надійного перемикання розрахуйте струм бази в 4 разів більшим за мінімально потрібний для насичення. Знайдіть R_B у kΩ.

V_CC = 12 VR_C = 100 Ωβ = 100V_in = 3,3 VV_BE = 0,7 VV_CE(sat) = 0,2 Vкоефіцієнт перенасичення = 4

R_B = kΩ

3.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V_in = 1 VR_a = 4,7 kΩR_b = 22 kΩR₁ = 2 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

4.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Інтегратор використовує ідеальний ОП із живленням ±15 V; його вихід насичується на рівні ±12 V. Конденсатор розряджений, коли при t = 0 подається стала вхідна напруга V_in = 1,1 V. Через який час після t = 0 вихід досягне насичення? Знайдіть t.

V_in = 1,1 VR = 22 kΩC = 0,47 µFV_sat = ±12 V

t = ms

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 5 ms, у mJ.

V_s = 5 VR = 5 ΩL = 22 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 5 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 3 V, рівно через 250 ms після старту. При R = 1 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 5 VV_th = 3 VT = 250 msR = 1 kΩ

C = µF

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

9.DC-DC перетворювачіСередня

Ідеальний знижувальний перетворювач перетворює 12 V на 8,4 V на частоті комутації 250 kHz. Знайдіть індуктивність L, за якої розмах струму пульсацій котушки становить 0,8 A.

Vin = 12 VVo = 8,4 Vf = 250 kHzΔI_L = 0,8 A

L = µH

10.DC-DC перетворювачіСкладна

Знижувальний перетворювач перетворює 9 V на 4,5 V для навантаження 4 Ω на частоті 500 kHz при L = 22 µH і C = 10 µF. Знайдіть розмах пульсацій вихідної напруги ΔV_o у mV.

Vin = 9 VVo = 4,5 Vf = 500 kHzL = 22 µHC = 10 µF

ΔV_o = mV

11.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Знайдіть опір Тевенена R_th показаного моста з боку вихідних затискачів a і b.

V_s = 6 VR₁ = 400 ΩR₂ = 50 ΩR₃ = 300 ΩR₄ = 250 Ω

R_th = Ω

12.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Чвертьміст (один активний тензорезистор, GF = 2,1) живиться від 10 V. Найбільшу вимірювану деформацію 800 µε треба перетворити на 5 V на вході аналого-цифрового перетворювача. Знайдіть коефіцієнт підсилення підсилювача G.

V_s = 10 VGF = 2,1ε_max = 800 µεV_FS = 5 V

G =

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Спростіть F = AC + A′C + AB′ до мінімальної форми суми добутків. Скільки літералів L містить спрощений вираз?

F = AC + A′C + AB′

L =

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

Синхронний десятковий лічильник (за модулем 10) рахує 0, 1, …, 9, а потім повертається до 0. Він починає з 7. Яке значення Q (у десятковому вигляді) він покаже після 16 імпульсів такту?

Q₀ = 716N = 10

Q =

3Розчини

1.Діоди й транзистори

Відповідь: R = 800 Ω

Кола зі світлодіодами та діодами: світлодіод, увімкнений у прямому напрямку, має падіння напруги приблизно V_F (близько 2 В для червоного, 3 В для синього чи білого) незалежно від струму. Послідовний резистор задає струм: R = (V_s − n·V_F)/I для n світлодіодів послідовно. За точнішою моделлю діода V = V₀ + I·r_d робоча точка лежить там, де пряма діода перетинає лінію навантаження I = (V_s − V)/R, тож I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Напруга на резисторі

V_R = 24 − 2·2 = 20 V

Опір

R = 20/0,025 = 800 Ω

Відповідь

R = 800 Ω

Резистор розсіює 500 мВт.

2.Діоди й транзистори

Відповідь: R_B = 0,5508 kΩ

БТ як ключ: щоб повністю ввімкнути навантаження, транзистор переводять у насичення, де V_CE = V_CE(sat), а струм колектора визначається навантаженням: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C. Для насичення потрібен струм бази щонайменше I_B = I_C(sat)/β. Якщо струм бази менший, транзистор залишається в активному режимі й I_C = β·I_B.

Струм колектора в насиченні

I_C(sat) = (12 − 0,2)/100 = 118 mA

Мінімальний струм бази

I_B(min) = I_C(sat)/β = 118/100 = 1180 µA

Розрахунковий струм бази

I_B = 4·1180 µA = 4720 µA

Базовий резистор

R_B = (3,3 − 0,7)/I_B = 2,6 V/4,72 mA = 0,5508 kΩ

Відповідь

R_B = 0,5508 kΩ

3.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = 2,76 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Напруга на вході +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1·22/(4,7 + 22) = 0,824 V

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊, і струм через R₁ тече також через R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0,824·(1 + 4,7/2) = 2,76 V

Відповідь

V_out = 2,76 V

4.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: t = 112,8 ms

Вхідний струм і швидкість наростання

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

RC = 22 kΩ · 0,47 µF = 10,34 ms

швидкість наростання = −V_in/(RC) = −1,1/10,34 = −0,1064 V/ms

Час до насичення

|V_in|·t/(RC) = V_sat → t = V_sat·RC/|V_in| = 12·10,34/1,1 = 112,8 ms

Відповідь

t = 112,8 ms

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 5,072 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 5 Ω = 4,4 ms

i(∞) = V_s/R = 5/5 = 1 A

Струм у заданий момент

i(t) = 1·(1 − e^−5/4,4) = 0,679 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·22·0,679² = 5,072 mJ

Відповідь

W = 5,072 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 272,8 µF

Потрібна стала часу

3 = 5·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(5/(5 − 3))

τ = 250/0,9163 = 272,8 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 272,8/1 = 272,8 µF

Відповідь

C = 272,8 µF

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 3 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 2 + 3,333 = 5,333 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/5,333 = 4,5 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 4,5·2 = 15 V

I_R2 = V_A/R₂ = 15/5 = 3 A

Відповідь

I_R2 = 3 A

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,8476 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 6 + 20 = 26 Ω

R₄ ∥ 26 = 4,875 Ω

R₃ + 4,875 = 7,875 Ω

R₂ ∥ 7,875 = 6,238 Ω

R_eq = R₁ + 6,238 = 15 + 6,238 = 21,24 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/21,24 = 0,8476 A

Відповідь

I_R1 = 0,8476 A

9.DC-DC перетворювачі

Відповідь: L = 12,6 µH

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний V_o = D·V_in, підвищувальний V_o = V_in/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |V_o| = V_in·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: V_in·I_in = V_o·I_o. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔI_L = V_L·D·T/L, де V_L = V_in − V_o для знижувального й V_in для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для знижувального й I_o·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔI_L/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 8,4/12 = 0,7

Індуктивність

L = 3,6·0,7/(0,8·250·10³) = 12,6 µH

Відповідь

L = 12,6 µH

10.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔV_o = 5,114 mV

Коефіцієнт заповнення

D = 4,5/9 = 0,5

Струм пульсацій котушки

ΔI_L = (9 − 4,5)·0,5/(22·10⁻⁶·500·10³) = 0,2045 A

Пульсації виходу

ΔV_o = 0,2045/(8·500·10³·10·10⁻⁶) = 5,114 mV

Відповідь

ΔV_o = 5,114 mV

11.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: R_th = 180,8 Ω

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Джерело замкнене накоротко

R₁∥R₂ = 400·50/450 = 44,44 Ω

R₃∥R₄ = 300·250/550 = 136,4 Ω

Опір Тевенена

R_th = 180,8 Ω

Відповідь

R_th = 180,8 Ω

12.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: G = 1190

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Вихід мосту на повній шкалі

V_o = 4,2 mV

Коефіцієнт підсилення

G = 5/0,0042 = 1190

Відповідь

G = 1190

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: L = 3

Булева алгебра: правила, що спрощують вирази, — це X + X′ = 1 і X·X′ = 0, X + X = X, поглинання X + X·Y = X, правило склеювання X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y і теорема про консенсус XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Закони де Моргана перетворюють (X·Y)′ на X′ + Y′, а (X + Y)′ на X′·Y′. Карта Карно застосовує ці правила графічно: кожна група з двох сусідніх клітинок — це одне застосування XY + XY′ = X.

Мінтерми виразу

AC → m(5, 7)

A′C → m(1, 3)

AB′ → m(4, 5)

Згрупуйте й зчитайте

F = C + AB′

Порахуйте літерали

L = 3

Відповідь

L = 3

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: Q = 3

Тригери та лічильники: тригер змінюється лише за активним фронтом такту. D копіює свій вхід (Q⁺ = D); T перемикається, коли T = 1; JK зберігає стан за 00, скидає за 01, встановлює за 10 і перемикає за 11. n-розрядний двійковий лічильник має 2ⁿ станів і рахує за модулем 2ⁿ; лічильник за модулем N рахує 0, 1, …, N − 1 і повертається до 0, і йому потрібне найменше n, для якого 2ⁿ ≥ N тригерів. Кожен ступінь послідовного лічильника ділить частоту навпіл, тож останній вихід лічильника за модулем N має частоту f_clk/N. Лічильник Джонсона з n тригерів має 2n станів, кільцевий — n.

Повні цикли

Кожні 10 імпульсів повертають лічильник у той самий стан.

16 = 1·10 + 6

Значення після решти імпульсів

Q = (7 + 6) mod 10 = 3

Q = 0011₂

Відповідь

Q = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1