Електроніка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Діоди й транзистори

Діод (постійний спад): V_D = 0,7 V when conducting
Активний режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фіксоване зміщення: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Зміщення дільником: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Еквівалент Тевенена дільника: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Колекторний контур: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насичення: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

DC-DC перетворювачі

Знижувальний: V_o = D·V_in
Підвищувальний: V_o = V_in/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей: V_inI_in = V_oI_o
Пульсації струму котушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Середній струм котушки: знижувальний I_o; підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o/(1 − D)
Пульсації виходу: знижувальний ΔI_L/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів: знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔI_L/2.

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

2Задачі для практики

1.Діоди й транзисториСередня

4 білий світлодіодів (пряма напруга 3 В кожен) з’єднано послідовно з резистором до джерела 24 В. Знайдіть опір R, що задає струм 25 мА.

V_s = 24 VV_F = 3 Vn = 4I = 25 mA

R = Ω

2.Діоди й транзисториСкладна

Діод змодельовано як 0,6 В послідовно з 20 Ом (він проводить вище 0,6 В). Він увімкнений послідовно з резистором 100 Ом до джерела 12 В. Знайдіть робочий струм I_D у точці, де лінія діода перетинає лінію навантаження.

V_s = 12 VR = 100 ΩV₀ = 0,6 Vr_d = 20 Ω

I_D = mA

3.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

ОП ідеальний і живиться від ±15 V; його вихід насичується на рівні ±12 V. На неінвертувальний підсилювач подається синусоїдальний сигнал. Знайдіть найбільшу амплітуду вхідного сигналу V_in,max (пікове значення), за якої вихідний сигнал не обмежується.

R₁ = 2 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

4.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Інтегратор використовує ідеальний ОП із живленням ±15 V; його вихід насичується на рівні ±13 V. Конденсатор розряджений, коли при t = 0 подається стала вхідна напруга V_in = −2,4 V. Знайдіть вихідну напругу V_out при t = 2 ms.

V_in = −2,4 VR = 1 kΩC = 4,7 µFV_sat = ±13 Vt = 2 ms

V_out = V

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу v_L на котушці в момент t = 5 ms.

V_s = 9 VR = 100 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм i₂ через R₂ при t = 60 ms.

V_s = 9 VR₁ = 10 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 22 µFt = 60 ms

i₂ = mA

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

9.DC-DC перетворювачіСередня

Ідеальний інвертувальний знижувально-підвищувальний перетворювач перетворює 9 V на −6 V на частоті 100 kHz при L = 150 µH. Знайдіть розмах струму пульсацій котушки ΔI_L.

Vin = 9 VVo = −6 Vf = 100 kHzL = 150 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC перетворювачіСкладна

Ідеальний підвищувальний перетворювач перетворює 48 V на 96 V для навантаження 4 Ω на частоті 100 kHz. Знайдіть найменшу індуктивність L_crit для режиму безперервних струмів.

Vin = 48 VVo = 96 Vf = 100 kHzR = 4 Ω

L_crit = µH

11.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Міст має чотири плеча по 100 Ω і V_s = 2 V. Датчик R₂ збільшується на ΔR = 10 Ω. Знайдіть точний вихід V_ab у mV.

V_s = 2 VR = 100 ΩΔR = 10 Ω

V_ab = mV

12.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Чвертьміст з одним активним тензорезистором (GF = 2,1) живиться від 10 V. Під навантаженням вихід показує 6,3 mV. Знайдіть деформацію ε у µε.

V_s = 10 VGF = 2,1V_o = 6,3 mV

ε = µε

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

На цій карті Карно рівно одна 1 не має сусідньої 1, тож у мінімальній формі SOP вона лишається групою з однієї клітинки (повний мінтерм із чотирьох літералів). Сусіди через краї карти враховуються. Клікніть цю клітинку.

F = Σm(0, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

JK-тригер, що спрацьовує за переднім фронтом, починає з Q = 0 і отримує показані входи. Клікніть перший фронт такту, на якому Q переходить з 1 назад у 0.

Q₀ = 0JK

1фронт такту 1
2фронт такту 2
3фронт такту 3
4фронт такту 4
5фронт такту 5
6фронт такту 6
7фронт такту 7
8фронт такту 8

3Розчини

1.Діоди й транзистори

Відповідь: R = 480 Ω

Кола зі світлодіодами та діодами: світлодіод, увімкнений у прямому напрямку, має падіння напруги приблизно V_F (близько 2 В для червоного, 3 В для синього чи білого) незалежно від струму. Послідовний резистор задає струм: R = (V_s − n·V_F)/I для n світлодіодів послідовно. За точнішою моделлю діода V = V₀ + I·r_d робоча точка лежить там, де пряма діода перетинає лінію навантаження I = (V_s − V)/R, тож I = (V_s − V₀)/(R + r_d).

Напруга на резисторі

V_R = 24 − 4·3 = 12 V

Опір

R = 12/0,025 = 480 Ω

Відповідь

R = 480 Ω

Резистор розсіює 300 мВт.

2.Діоди й транзистори

Відповідь: I_D = 95 mA

Об’єднайте два рівняння

12 = 0,6 + I·(100 + 20)

Робочий струм

I_D = 11,4/120 = 95 mA

V_D = 0,6 + 0,095·20 = 2,5 V

Відповідь

I_D = 95 mA

3.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_in,max = 0,2353 V

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 100/2 = 51

Найбільший вхідний сигнал без обмеження

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/51 = 0,2353 V

Відповідь

V_in,max = 0,2353 V

4.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = 1,021 V

Вхідний струм і швидкість наростання

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

RC = 1 kΩ · 4,7 µF = 4,7 ms

швидкість наростання = −V_in/(RC) = −(−2,4)/4,7 = 0,5106 V/ms

Вихідна напруга в заданий момент

Ідеальне значення лежить у межах ±V_sat, тож інтегратор ще не обмежує сигнал.

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−2,4)·2/4,7 = 1,021 V

Відповідь

V_out = 1,021 V

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_L = 0,9273 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 9/100 = 0,09 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 9·e^−5/2,2 = 0,9273 V

Відповідь

v_L = 0,9273 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i₂ = 0,2961 mA

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 9·3,3/(10 + 3,3) = 2,233 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 3,3·22 = 72,6 ms

Розряджання

v_C(t) = 2,233·e^−60/72,6 = 0,9772 V

i₂ = v_C/R₂ = 0,9772/3,3 = 0,2961 mA

Відповідь

i₂ = 0,2961 mA

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 16,21 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 20 + 12 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 15·32/(15+32) = 10,21 Ω

R_eq = R₁ + 10,21 = 6 + 10,21 = 16,21 Ω

Відповідь

R_eq = 16,21 Ω

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,8728 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 30 + 8 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 13,1 Ω

R₃ + 13,1 = 16,1 Ω

R₂ ∥ 16,1 = 4,371 Ω

R_eq = R₁ + 4,371 = 30 + 4,371 = 34,37 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/34,37 = 0,8728 A

Відповідь

I_R1 = 0,8728 A

9.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔI_L = 0,24 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний V_o = D·V_in, підвищувальний V_o = V_in/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |V_o| = V_in·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: V_in·I_in = V_o·I_o. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔI_L = V_L·D·T/L, де V_L = V_in − V_o для знижувального й V_in для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для знижувального й I_o·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔI_L/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 6/(9 + 6) = 0,4

Напруга на котушці під час увімкненого стану

Поки S увімкнений, котушка підключена безпосередньо до V_in.

V_L = 9 V

Струм пульсацій

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 9·0,4/(150·10⁻⁶·100·10³) = 0,24 A

Відповідь

ΔI_L = 0,24 A

10.DC-DC перетворювачі

Відповідь: L_crit = 2,5 µH

Коефіцієнт заповнення

D = 1 − 48/96 = 0,5

Умова на межі

Прирівняйте середній струм котушки до половини струму пульсацій і розв’яжіть відносно L.

L_crit = D(1 − D)²·R/(2f)

Критична індуктивність

L_crit = 0,5(1 − 0,5)²·4/(2100·10³) = 2,5 µH

Відповідь

L_crit = 2,5 µH

11.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_ab = 47,62 mV

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напруги вузлів

V_a = 2·110/210 = 1,048 V

V_b = 1 V

Виведення

V_ab = 47,62 mV

Відповідь

V_ab = 47,62 mV

Лінійна оцінка V_s·ΔR/(4R) = 50 mV завищена на 5 %: чвертьміст не зовсім лінійний.

12.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: ε = 1200 µε

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Розв’яжіть рівняння чвертьмосту

ε = 4·0,0063/(10·2,1) = 0,0012

У мікродеформаціях

ε = 1200 µε

Відповідь

ε = 1200 µε

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: AB = 00, CD = 11

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

Сусіди кожної 1

1 із сусідньою 1 може приєднатися до групи з двох або більше.

m3: m2, m1, m7, m11 → 0

Ізольована 1

m3 = A′B′CD → AB = 00, CD = 11

Відповідь

AB = 00, CD = 11

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: фронт такту 3

Тригери та лічильники: тригер змінюється лише за активним фронтом такту. D копіює свій вхід (Q⁺ = D); T перемикається, коли T = 1; JK зберігає стан за 00, скидає за 01, встановлює за 10 і перемикає за 11. n-розрядний двійковий лічильник має 2ⁿ станів і рахує за модулем 2ⁿ; лічильник за модулем N рахує 0, 1, …, N − 1 і повертається до 0, і йому потрібне найменше n, для якого 2ⁿ ≥ N тригерів. Кожен ступінь послідовного лічильника ділить частоту навпіл, тож останній вихід лічильника за модулем N має частоту f_clk/N. Лічильник Джонсона з n тригерів має 2n станів, кільцевий — n.

Q після кожного фронту

JK-тригер: 00 зберігає, 01 скидає (Q = 0), 10 встановлює (Q = 1), 11 перемикає.

1: J = 1, K = 0 → Q = 1

2: J = 0, K = 0 → Q = 1

3: J = 0, K = 1 → Q = 0

4: J = 0, K = 0 → Q = 0

5: J = 1, K = 1 → Q = 1

6: J = 1, K = 0 → Q = 1

7: J = 0, K = 1 → Q = 0

8: J = 1, K = 1 → Q = 1

Перша зміна з 1 на 0

фронт такту 3

Відповідь

фронт такту 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1