Електроніка 1: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 14 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Діоди й транзистори

Діод (постійний спад): V_D = 0,7 V when conducting
Активний режим: V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B, I_E = (β + 1)·I_B
Фіксоване зміщення: I_B = (V_CC − 0,7)/R_B
Зміщення дільником: I_B = (V_TH − 0,7)/(R_TH + (β + 1)R_E)
Еквівалент Тевенена дільника: V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂
Колекторний контур: V_CE = V_CC − I_CR_C − I_ER_E
Насичення: I_C(sat) = (V_CC − V_CE(sat))/R_C, I_B ≥ I_C(sat)/β

Схеми з операційними підсилювачами

Інвертувальний підсилювач: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Неінвертувальний підсилювач: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Сумувальний підсилювач: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ідеальний ОП: V₊ = V₋, I_in = 0

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

DC-DC перетворювачі

Знижувальний: V_o = D·V_in
Підвищувальний: V_o = V_in/(1 − D)
Інвертувальний знижувально-підвищувальний: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
Ідеальний баланс потужностей: V_inI_in = V_oI_o
Пульсації струму котушки: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
Середній струм котушки: знижувальний I_o; підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o/(1 − D)
Пульсації виходу: знижувальний ΔI_L/(8fC); підвищувальний і знижувально-підвищувальний I_o·D/(fC)
Межа режиму безперервних струмів: знижувальний (1 − D)R/(2f); підвищувальний D(1 − D)²R/(2f); знижувально-підвищувальний (1 − D)²R/(2f)

Метод

Визначте перетворювач (знижувальний, підвищувальний чи знижувально-підвищувальний) і коефіцієнт заповнення D за відношенням напруг.
Скористайтеся балансом вольт-секунд на котушці: середня напруга на котушці за період дорівнює нулю.
Знайдіть напругу на котушці, поки ключ увімкнений, а потім ΔI_L = V_L·D/(L·f).
Для пульсацій виходу знайдіть заряд, що входить у конденсатор і виходить із нього; для межі режиму безперервних струмів прирівняйте середній струм котушки до ΔI_L/2.

Міст Вітстона й тензорезистори

Напруги дільників: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Виведення: V_ab = V_a − V_b
Баланс: R₁/R₂ = R₃/R₄
Реохордний міст: R/R_x = l/(100 − l)
Опір Тевенена: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Коефіцієнт тензочутливості: ΔR/R = GF·ε
Вихід мосту: чвертьміст V_s·GF·ε/4, напівміст V_s·GF·ε/2, повний міст V_s·GF·ε
Мала зміна, одне плече: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Напруження: σ = E·ε

Метод

Розглядайте міст як два дільники напруги на одному джерелі живлення.
Для рівноваги покладіть R₁/R₂ = R₃/R₄ і розв’яжіть відносно невідомого резистора.
Для незбалансованого мосту знайдіть V_a і V_b з дільників і відніміть; коли вимірювач навантажує вихід, скористайтеся еквівалентом Тевенена.
Для тензорезисторів переведіть деформацію в ΔR/R = GF·ε і користуйтеся V_s·GF·ε/4, /2 або ×1 для чвертьмосту, напівмосту чи повного мосту.

Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Базові вентилі: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевої алгебри: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Закони де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карті Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Група з 2ᵏ клітинок: втрачає k змінних
Мультиплексор 4-до-1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Тригери: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Лічильники: n-розрядний: 2ⁿ станів; за модулем N: найменше n з 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Послідовний лічильник: f_max = 1/(n·t_pd)
Кільцевий лічильник і лічильник Джонсона: n і 2n станів

Метод

Для схеми рухайтеся від входів до виходу вентиль за вентилем і записуйте значення на кожному дроті, або запишіть її вираз і заповніть таблицю істинності.
Для спрощення занесіть одиниці (а байдужі стани як X) на карту Карно з рядками й стовпцями в коді Грея: 00, 01, 11, 10.
Покрийте одиниці якомога меншою кількістю якомога більших груп по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, з переходом через краї; кожна група — це один добуток зі змінних, що лишаються сталими. Для форми POS групуйте нулі.
Для тригерів і лічильників читайте входи на кожному активному фронті такту, записуйте стан після кожного фронту й пам’ятайте, що n-розрядний лічильник переходить через максимум після 2ⁿ станів.

2Задачі для практики

1.Діоди й транзисториСередня

NPN-транзистор з β = 80 має зміщення дільником напруги від V_CC = 20 V: R₁ = 33 kΩ від V_CC до бази й R₂ = 10 kΩ від бази до землі. Колекторний резистор R_C = 2,2 kΩ, емітерний резистор R_E = 1 kΩ. Візьміть V_BE = 0,7 V і використайте еквівалент Тевенена дільника (не нехтуйте струмом бази). Знайдіть струм колектора I_C у mA.

V_CC = 20 VR₁ = 33 kΩR₂ = 10 kΩR_C = 2,2 kΩR_E = 1 kΩβ = 80

I_C = mA

2.Діоди й транзисториСкладна

Стабілізатор на стабілітроні 6,2 В має живити навантаження струмом до 10 мА. Вхідна напруга може впасти до 24 В, а стабілітрону для стабілізації потрібно щонайменше 5 мА. Знайдіть найбільший послідовний опір R_max, при якому стабілізація зберігається.

V_in,min = 24 VV_Z = 6,2 VI_L,max = 10 mAI_Z,min = 5 mA

R_max = Ω

3.Схеми з операційними підсилювачамиСередня

Підберіть резистор зворотного зв’язку R_f, щоб цей неінвертувальний підсилювач мав коефіцієнт підсилення за напругою 20.

R₁ = 1 kΩA_v = 20

R_f = kΩ

4.Схеми з операційними підсилювачамиСкладна

Сумувальний підсилювач використовує ідеальний ОП, що живиться від ±15 V. Знайдіть вихідну напругу V_out.

V₁ = 1,8 VV₂ = 1,9 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W, накопичену в котушці при t = 10 ms, у mJ.

V_s = 15 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 10 ms

W = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 24 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 20,4 V? Знайдіть t.

V_s = 12 VR = 3,3 kΩC = 100 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

7.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

8.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

9.DC-DC перетворювачіСередня

Ідеальний знижувальний перетворювач перетворює 12 V на 8,4 V на частоті 500 kHz при L = 68 µH. Знайдіть розмах струму пульсацій котушки ΔI_L.

Vin = 12 VVo = 8,4 Vf = 500 kHzL = 68 µH

ΔI_L = A

10.DC-DC перетворювачіСкладна

Ідеальний знижувально-підвищувальний перетворювач перетворює 9 V на −21 V для навантаження 10 Ω на частоті 250 kHz. Вихідний конденсатор має 100 µF. Знайдіть розмах пульсацій вихідної напруги ΔV_o у mV.

Vin = 9 VVo = −21 Vf = 250 kHzC = 100 µFR = 10 Ω

ΔV_o = mV

11.Міст Вітстона й тензорезисториСередня

Міст із чотирма плечима по 470 Ω живиться від 6 V. Коли датчик R₂ змінюється, вихід показує V_ab = 142,9 mV. Знайдіть точну зміну ΔR опору R₂.

V_s = 6 VR = 470 ΩV_ab = 142,9 mV

ΔR = Ω

12.Міст Вітстона й тензорезисториСкладна

Міст із плечима по 1000 Ω живиться від 2,5 V і має один активний тензорезистор (чвертьміст). Коефіцієнт тензочутливості — 2,12, деформація — 750 µε. Знайдіть вихід мосту V_o у mV.

V_s = 2,5 VGF = 2,12ε = 750 µε

V_o = mV

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСередня

Скористайтеся картою Карно, щоб знайти мінімальну форму суми добутків (SOP) для F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 6). Скільки всього літералів L вона містить (змінна зі штрихом рахується як один літерал)?

F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 6)

L =

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригериСкладна

JK-тригер, що спрацьовує за переднім фронтом, починає з Q = 0 і отримує показані входи на 6 передніх фронтах такту. Скільки разів N змінюється стан Q?

Q₀ = 0JK

N =

3Розчини

1.Діоди й транзистори

Відповідь: I_C = 3,565 mA

Робоча точка БТ: в активному режимі V_BE = 0,7 V, I_C = β·I_B і I_E = (β + 1)·I_B. Знайдіть I_B з базового контуру за ЗНК, потім I_C, потім V_CE з контуру колектор–емітер. Дільник напруги в колі бази замінюють його еквівалентом Тевенена V_TH = V_CC·R₂/(R₁ + R₂), R_TH = R₁∥R₂; емітерний резистор у базовому контурі виглядає в (β + 1) разів більшим.

Еквівалент Тевенена дільника

V_TH = 20·10/(33 + 10) = 4,651 V

R_TH = 33·10/(33 + 10) = 7,674 kΩ

Струм бази

ЗНК для базового контуру; струм емітера дорівнює (β + 1)·I_B.

I_B = (4,651 − 0,7)/(7,674 + 81·1) = 44,56 µA

Струм колектора

I_C = 80·44,56 µA = 3,565 mA

I_E = 81·44,56 µA = 3,609 mA

Відповідь

I_C = 3,565 mA

2.Діоди й транзистори

Відповідь: R_max = 1187 Ω

Стабілізатор на стабілітроні: стабілітрон, увімкнений у зворотному напрямку, тримає напругу V_Z, поки його струм вищий за мінімальний I_Z,min. Послідовний резистор R бере різницю між вхідною та вихідною напругою: I_R = (V_in − V_Z)/R. Цей струм ділиться між навантаженням, I_L = V_Z/R_L, і стабілітроном: I_Z = I_R − I_L. Проєктуйте за найгіршими випадками: найнижча вхідна напруга при найбільшому навантаженні має все ж лишати I_Z,min, а найвища вхідна напруга без навантаження дає найбільшу потужність стабілітрона P_Z = V_Z·I_Z.

Струм у найгіршому випадку

I_R = 10 + 5 = 15 mA

Найбільший опір

R_max = 17,8/0,015 = 1187 Ω

Відповідь

R_max = 1187 Ω

3.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: R_f = 19 kΩ

Правила ідеального ОП: з від’ємним зворотним зв’язком підсилювач встановлює вихід так, щоб обидва входи мали однакову напругу (V₋ = V₊), і в жоден вхід струм не тече. ЗСК на інвертувальному вході з цими двома фактами дає вихід.

Коефіцієнт підсилення неінвертувального підсилювача

V₋ = V₊ = V_in, а струм через R₁ тече й через R_f, тож V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (20 − 1)·1 = 19 kΩ

Відповідь

R_f = 19 kΩ

4.Схеми з операційними підсилювачами

Відповідь: V_out = −1,99 V

Вхідні струми

V₋ = 0, тож на кожному вхідному резисторі вся його вхідна напруга.

I₁ = V₁/R₁ = 1,8/4,7 = 0,383 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,9/47 = 0,04043 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,4234 mA

Вихідна напруга

V_out = −R_f·I_f = −4,7·0,4234 = −1,99 V

Відповідь

V_out = −1,99 V

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W = 39,95 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

i(∞) = V_s/R = 15/10 = 1,5 A

Струм у заданий момент

i(t) = 1,5·(1 − e^−10/15) = 0,7299 A

Накопичена енергія

W = ½·L·i² = ½·150·0,7299² = 39,95 mJ

Відповідь

W = 39,95 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 117,7 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 100 µF = 330 ms

v_C(t) = 12 + (24 − 12)·e^−t/τ

Виразіть час

20,4 = 12 + (12)·e^−t/τ → e^−t/τ = (20,4 − 12)/(24 − 12) = 0,7

t = τ·ln((24 − 12)/(20,4 − 12)) = 330·ln(1,429) = 117,7 ms

Відповідь

t = 117,7 ms

7.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,2 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 8 + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_eq = R₁ + 10 = 15 + 10 = 25 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/25 = 1,2 A

Відповідь

I_R1 = 1,2 A

8.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 6,19 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 10 + 6 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 3,81 Ω

R₃ + 3,81 = 8,81 Ω

R₂ ∥ 8,81 = 3,19 Ω

R_eq = R₁ + 3,19 = 3 + 3,19 = 6,19 Ω

Відповідь

R_eq = 6,19 Ω

9.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔI_L = 0,07412 A

DC-DC перетворювачі: ключ S вмикається на частку D кожного періоду T = 1/f. В усталеному режимі середня напруга на котушці дорівнює нулю (баланс вольт-секунд), що дає ідеальні коефіцієнти перетворення в режимі безперервних струмів: знижувальний V_o = D·V_in, підвищувальний V_o = V_in/(1 − D), інвертувальний знижувально-підвищувальний |V_o| = V_in·D/(1 − D). Ідеальний перетворювач зберігає потужність: V_in·I_in = V_o·I_o. Поки ключ S увімкнений, струм котушки зростає на ΔI_L = V_L·D·T/L, де V_L = V_in − V_o для знижувального й V_in для підвищувального та знижувально-підвищувального. Пульсації виходу дорівнюють ΔV_o = ΔI_L/(8fC) для знижувального й I_o·D/(fC) для підвищувального та знижувально-підвищувального. Струм котушки лише торкається нуля (межа режиму безперервних струмів), коли середній струм котушки дорівнює ΔI_L/2.

Коефіцієнт заповнення

D = 8,4/12 = 0,7

Напруга на котушці під час увімкненого стану

Поки S увімкнений, котушка опиняється між V_in і V_o.

V_L = 12 − 8,4 = 3,6 V

Струм пульсацій

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 3,6·0,7/(68·10⁻⁶·500·10³) = 0,07412 A

Відповідь

ΔI_L = 0,07412 A

10.DC-DC перетворювачі

Відповідь: ΔV_o = 58,8 mV

Коефіцієнт заповнення

D = 21/(9 + 21) = 0,7

Струм навантаження

I_o = 21/10 = 2,1 A

Пульсації виходу

ΔV_o = 2,1·0,7/(250·10³·100·10⁻⁶) = 58,8 mV

Відповідь

ΔV_o = 58,8 mV

11.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: ΔR = 47 Ω

Міст Вітстона: два дільники напруги живляться від одного джерела V_s. Лівий дільник R₁–R₂ дає V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), а правий дільник R₃–R₄ дає V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); вихід — V_ab = V_a − V_b. Міст збалансований (V_ab = 0, у вимірювачі немає струму), коли R₁/R₂ = R₃/R₄, тобто R₁·R₄ = R₂·R₃. З боку виходу міст — це джерело Тевенена з R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Напруга вузла

V_a = 3 + 0,1429 = 3,143 V

Розв’язати дільник

R₂ = 470·3,143/(6 − 3,143) = 517 Ω

ΔR = 517 − 470 = 47 Ω

Відповідь

ΔR = 47 Ω

12.Міст Вітстона й тензорезистори

Відповідь: V_o = 0,9938 mV

Тензорезистори: тензорезистор змінює опір під дією деформації: ΔR/R = GF·ε, де коефіцієнт тензочутливості GF для металевої фольги близько 2. У мосту, всі плечі якого дорівнюють R, один активний тензорезистор (чвертьміст) дає V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Два активні тензорезистори з протилежними деформаціями в сусідніх плечах (напівміст) дають V_s·GF·ε/2, а чотири (повний міст) — V_s·GF·ε. Напруження випливає із закону Гука, σ = E·ε. Тензометричні датчики сили вказують чутливість у mV/V: вихід при повному навантаженні на один вольт живлення.

Відносна зміна опору

ΔR/R = 2,12·750·10⁻⁶ = 0,00159

Вихід мосту

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 2,5·0,00159/4 = 0,9938 mV

Відповідь

V_o = 0,9938 mV

13.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: L = 4

Карти Карно: клітинки впорядковано за кодом Грея (00, 01, 11, 10), тож сусідні клітинки, зокрема через краї, відрізняються рівно однією змінною. Групуйте одиниці в прямокутники по 1, 2, 4, 8 або 16 клітинок, якомога більші й у якомога меншій кількості, доки кожну 1 не буде покрито. Кожна група — це один добуток: змінні, що лишаються сталими всередині неї. Група з 2ᵏ клітинок втрачає k змінних. Байдужі стани (X) можна використовувати, щоб групи були більшими, але їх не обов’язково покривати. Групування нулів замість одиниць дає мінімальну форму POS.

Згрупуйте одиниці

Кожна група — це прямокутник із 2ᵏ клітинок; крайні клітинки є сусідами клітинок на протилежному краї.

BC′

A′C

Мінімальна форма SOP

F = BC′ + A′C

L = 4

Відповідь

L = 4

14.Цифрова логіка: вентилі, карти Карно та тригери

Відповідь: N = 2

Тригери та лічильники: тригер змінюється лише за активним фронтом такту. D копіює свій вхід (Q⁺ = D); T перемикається, коли T = 1; JK зберігає стан за 00, скидає за 01, встановлює за 10 і перемикає за 11. n-розрядний двійковий лічильник має 2ⁿ станів і рахує за модулем 2ⁿ; лічильник за модулем N рахує 0, 1, …, N − 1 і повертається до 0, і йому потрібне найменше n, для якого 2ⁿ ≥ N тригерів. Кожен ступінь послідовного лічильника ділить частоту навпіл, тож останній вихід лічильника за модулем N має частоту f_clk/N. Лічильник Джонсона з n тригерів має 2n станів, кільцевий — n.

Q після кожного фронту

JK-тригер: 00 зберігає, 01 скидає (Q = 0), 10 встановлює (Q = 1), 11 перемикає.

1: J = 1, K = 0 → Q = 1

2: J = 1, K = 1 → Q = 0

3: J = 0, K = 0 → Q = 0

4: J = 0, K = 0 → Q = 0

5: J = 0, K = 0 → Q = 0

6: J = 0, K = 0 → Q = 0

Порахуйте зміни

0 → 1 → 0 → 0 → 0 → 0 → 0

N = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/electronics-1