Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 75 mm до 40 mm. У широкій частині тиск 190 kPa, а швидкість 3 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 190 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 40 mm і піднімається на 6 m. У перерізі 1 тиск 150 kPa, а швидкість 1,5 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 150 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 1,5 m/s трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 1,5 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 62 m. ККД насоса 60%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 90%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 60 L/sH = 62 mη_pump = 60%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 100 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 5 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 100 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) має ширину по дну 3,5 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,2 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3,5 my = 1,2 mz = 1,5n = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) з шириною по дну 5 m і закладанням укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 43 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,5 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 43 m³/sb = 5 my = 2,5 mz = 3n = 0,03

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 242,8 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·4,5 = 242,8 kN

Відповідь

F = 242,8 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 5,349 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·5 = 226,6 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 2,604/(5,25·5) = 5,349 m

Відповідь

y_cp = 5,349 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 138,9 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/40)² = 10,55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 10,55²)/1000 = −51,12 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 190 + (−51,12) = 138,9 kPa

Відповідь

p₂ = 138,9 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 48,32 kPa

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(100/40)² = 9,375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 9,375²)/1000 = −42,82 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 150 + (−42,82) − 58,86 = 48,32 kPa

Відповідь

p₂ = 48,32 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 42,81 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,5²/(2·9,81) = 0,1147 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,075)·1,5²/(2·9,81) = 42,81 m

Відповідь

h_f = 42,81 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 1,112 m

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Сумарні втрати напору

h_f = 7,2·0,07615 = 0,5483 m

h_m = 7,4·0,07615 = 0,5635 m

Δz = h_f + h_m = 1,112 m

Відповідь

Δz = 1,112 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 67,58 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·62 = 36,49 kW

Потужність на валу

P_shaft = 36,49/0,6 = 60,82 kW

Електрична потужність

P_el = 60,82/0,9 = 67,58 kW

Відповідь

P_el = 67,58 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 19,17 m

Швидкість

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10,8 + 8)·0,2115 = 3,977 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 10,19 + 3,977 = 19,17 m

Відповідь

H = 19,17 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 7,12 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·1,2)·1,2 = 6,36 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,2·√(1 + 1,5²) = 7,827 m

R = A/P = 0,8126 m

Швидкість

V = (1/0,022)·0,8126^2/3·0,0008^1/2 = 1,12 m/s

Витрата

Q = A·V = 6,36·1,12 = 7,12 m³/s

Відповідь

Q = 7,12 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,000991 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·2,5)·2,5 = 31,25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2,5·√(1 + 3²) = 20,81 m

R = A/P = 1,502 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·43/(31,25·1,311) = 0,03148

S = 0,03148² = 0,000991

Відповідь

S = 0,000991

Це зниження на 0,991 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering