Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 200 mm до 100 mm. У широкій частині тиск 100 kPa, а швидкість 2 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 100 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Шланг із внутрішнім діаметром 40 mm працює як сифон і відбирає воду з відкритого резервуара. Найвища точка шланга C на 1 m вище за поверхню води, а вихід (відкритий в атмосферу) на 2,5 m нижче за поверхню води. Нехтуйте втратами й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q.

d = 40 mmz_C = +1 mz₂ = −2,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,2 m/s трубою довжиною 800 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,2 m/sL = 800 mD = 100 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 150 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 5). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 72% подає 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 20 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 60 L/sH = 20 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 9 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 2 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 200 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 80 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 2p_tank = 200 kPa

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (цегляна кладка) має ширину 1,5 m. Вода тече рівномірно з глибиною 2,5 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 1,5 my = 2,5 mn = 0,015S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 250 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 1 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 58,86 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Відповідь

F = 58,86 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 128,8 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·7,5 = 128,8 kN

Відповідь

F = 128,8 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 70 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(200/100)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 100 + (−30) = 70 kPa

Відповідь

p₂ = 70 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 8,801 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкість у шлангу

Поверхня і вихід відкриті в атмосферу, тож доданки тиску скорочуються.

v = √(2g·2,5) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,001257·7,004 = 0,008801 m³/s = 8,801 L/s

Відповідь

Q = 8,801 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 35,52 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,2²/(2·9,81) = 0,2467 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,1)·2,2²/(2·9,81) = 35,52 m

Відповідь

h_f = 35,52 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 12,93 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·200/0,15 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 24 + 6,7)·0,408 = 12,93 m

Відповідь

H = 12,93 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 16,35 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·20 = 11,77 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 11,77/0,72 = 16,35 kW

Відповідь

P_shaft = 16,35 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 33,02 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 2)·0,3305 = 3,636 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 20,39 + 3,636 = 33,02 m

Відповідь

H = 33,02 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 4,9 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 1,5·2,5 = 3,75 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·2,5 = 6,5 m

R = A/P = 0,5769 m

Швидкість

V = (1/0,015)·0,5769^2/3·0,0008^1/2 = 1,307 m/s

Витрата

Q = A·V = 3,75·1,307 = 4,9 m³/s

Відповідь

Q = 4,9 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,006814 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,1575)² = 0,006814

Відповідь

S = 0,006814

Це зниження на 6,814 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering