Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода витікає з великого відкритого резервуара через гострокромковий отвір діаметром 25 mm. Рівень води підтримують на 2 m вище за отвір, коефіцієнт витрати 0,65. Знайдіть витрату Q. Прийміть g = 9,81 m/s².

d = 25 mmh = 2 mC_d = 0,65g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Сопло фонтана спрямоване вертикально вгору. Безпосередньо під соплом підвідна труба має діаметр 50 mm і надлишковий тиск 40 kPa. Діаметр вихідного отвору сопла 25 mm, різницею висот у межах сопла можна знехтувати. Нехтуючи втратами й опором повітря, знайдіть висоту H, на яку струмінь піднімається над соплом. Прийміть g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 40 kPa (надлишковий)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 150 L/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 150 L/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 150 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 14 m, а його вал споживає 16,9 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 80 L/sH = 14 mP_shaft = 16,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 24 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 80 L/sΔz = 24 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 1200 mm заповнений наполовину. n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (оброблений бетон) з шириною по дну 3 m і закладанням укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 14 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,2 m. n Маннінга = 0,012. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 14 m³/sb = 3 my = 1,2 mz = 1n = 0,012

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 25,75 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·1,5 = 25,75 kN

Відповідь

F = 25,75 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,939 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,75·7,5 = 207,4 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 3,906/(2,75·7,5) = 2,939 m

Відповідь

y_cp = 2,939 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 1,999 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ідеальна швидкість струменя

√(2gh) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Дійсна витрата

Коефіцієнт витрати враховує стиснення струменя і тертя на кромці.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,65·0,0004909·6,264 = 0,001999 m³/s = 1,999 L/s

Відповідь

Q = 1,999 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: H = 4,349 m

Швидкість на виході

β = 25/50 = 0,5

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0,9375)) = 9,238 m/s

Висота струменя

Рівняння Бернуллі вздовж струменя: у верхній точці швидкість дорівнює нулю, а тиск знову атмосферний.

H = v₂²/(2g) = 9,238²/(2·9,81) = 4,349 m

Відповідь

H = 4,349 m

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 0,8416 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,122²/(2·9,81) = 0,2295 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,3)·2,122²/(2·9,81) = 0,8416 m

Відповідь

h_f = 0,8416 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 1,767 m

Швидкість

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Сумарні втрати напору

h_f = 14,67·0,06529 = 0,9575 m

h_m = 12,4·0,06529 = 0,8095 m

Δz = h_f + h_m = 1,767 m

Відповідь

Δz = 1,767 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 65,01 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·14 = 10,99 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 10,99/16,9 = 65,01%

Відповідь

η = 65,01%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 30,94 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,3305 = 6,941 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 24 + 6,941 = 30,94 m

Відповідь

H = 30,94 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,8718 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,002^1/2 = 1,542 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,5655·1,542 = 0,8718 m³/s

Відповідь

Q = 0,8718 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001526 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·1,2)·1,2 = 5,04 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,2·√(1 + 1²) = 6,394 m

R = A/P = 0,7882 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·14/(5,04·0,8533) = 0,03906

S = 0,03906² = 0,001526

Відповідь

S = 0,001526

Це зниження на 1,526 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering