Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 300 mm і діаметром горловини 150 mm. Тиск на вході на 36 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 36 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 50 mm і піднімається на 10 m. У перерізі 1 тиск 160 kPa, а швидкість 2,25 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 160 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2 m/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 100 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 52 m. ККД насоса 70%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 88%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 100 L/sH = 52 mη_pump = 70%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 120 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 23 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 82%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 120 L/sΔz = 23 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (необроблений бетон) має ширину по дну 2,5 m і закладання укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 2,1 m. n Маннінга = 0,014, ухил дна S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2,5 my = 2,1 mz = 1n = 0,014S = 0,005

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (оброблений бетон) шириною 1 m має пропускати 1,6 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,7 m. n Маннінга = 0,012. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 1,6 m³/sb = 1 my = 0,7 mn = 0,012

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 176,6 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Відповідь

F = 176,6 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 72,84 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,75·2,25 = 72,84 kN

Відповідь

F = 72,84 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 154,9 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(150/300)² = 0,25·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·36000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,764 m/s

v₁ = 2,191 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,01767·8,764 = 0,1549 m³/s = 154,9 L/s

Відповідь

Q = 154,9 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 23,93 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(100/50)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 160 + (−37,97) − 98,1 = 23,93 kPa

Відповідь

p₂ = 23,93 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 1,019 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,15)·2²/(2·9,81) = 1,019 m

Відповідь

h_f = 1,019 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 0,941 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·150/0,3 = 9

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Сумарні втрати напору

h_f = 9·0,05738 = 0,5164 m

h_m = 7,4·0,05738 = 0,4246 m

Δz = h_f + h_m = 0,941 m

Відповідь

Δz = 0,941 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 82,81 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·52 = 51,01 kW

Потужність на валу

P_shaft = 51,01/0,7 = 72,87 kW

Електрична потужність

P_el = 72,87/0,88 = 82,81 kW

Відповідь

P_el = 82,81 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 42,81 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,4 + 8)·0,3046 = 6,823 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 23 + 6,823 = 29,82 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·29,82/0,82 = 42,81 kW

Відповідь

P_shaft = 42,81 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 53,39 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·2,1)·2,1 = 9,66 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,1·√(1 + 1²) = 8,44 m

R = A/P = 1,145 m

Швидкість

V = (1/0,014)·1,145^2/3·0,005^1/2 = 5,527 m/s

Витрата

Q = A·V = 9,66·5,527 = 53,39 m³/s

Відповідь

Q = 53,39 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,003889 m/m

Геометрія

A = b·y = 1·0,7 = 0,7 m²

P = b + 2y = 1 + 2·0,7 = 2,4 m

R = A/P = 0,2917 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·1,6/(0,7·0,4398) = 0,06237

S = 0,06237² = 0,003889

Відповідь

S = 0,003889

Це зниження на 3,889 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering