Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода витікає з великого відкритого резервуара через гострокромковий отвір діаметром 20 mm. Рівень води підтримують на 5,5 m вище за отвір, коефіцієнт витрати 0,65. Знайдіть витрату Q. Прийміть g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 5,5 mC_d = 0,65g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 150 mm до 75 mm і піднімається на 10 m. У перерізі 1 тиск 240 kPa, а швидкість 0,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 240 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,2 m/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,2 m/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Поверхня води у верхньому резервуарі на 16 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 16 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 46 m. ККД насоса 72%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 94%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 80 L/sH = 46 mη_pump = 72%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 19 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 80 L/sΔz = 19 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (гравій) має ширину по дну 3,5 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,1 m. n Маннінга = 0,025, ухил дна S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3,5 my = 1,1 mz = 1,5n = 0,025S = 0,002

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) з шириною по дну 4,5 m і закладанням укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 4,4 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,7 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 4,4 m³/sb = 4,5 my = 0,7 mz = 1n = 0,022

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 353,2 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·9 = 353,2 kN

Відповідь

F = 353,2 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,083 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·3 = 103,6 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1/(4·3) = 4,083 m

Відповідь

y_cp = 4,083 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 2,121 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ідеальна швидкість струменя

√(2gh) = √(2·9,81·5,5) = 10,39 m/s

Дійсна витрата

Коефіцієнт витрати враховує стиснення струменя і тертя на кромці.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,65·0,0003142·10,39 = 0,002121 m³/s = 2,121 L/s

Відповідь

Q = 2,121 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 137,7 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(150/75)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−4,219) − 98,1 = 137,7 kPa

Відповідь

p₂ = 137,7 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 0,8223 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,2²/(2·9,81) = 0,2467 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,3)·2,2²/(2·9,81) = 0,8223 m

Відповідь

h_f = 0,8223 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 216,6 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·400/0,3 = 29,33

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

16 = (29,33 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·16/33,43) = 3,064 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 3,064·0,07069 = 0,2166 m³/s = 216,6 L/s

Відповідь

Q = 216,6 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 53,34 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·46 = 36,1 kW

Потужність на валу

P_shaft = 36,1/0,72 = 50,14 kW

Електрична потужність

P_el = 50,14/0,94 = 53,34 kW

Відповідь

P_el = 53,34 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 28,92 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0,3305 = 9,915 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 19 + 9,915 = 28,92 m

Відповідь

H = 28,92 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 8,43 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·1,1)·1,1 = 5,665 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,1·√(1 + 1,5²) = 7,466 m

R = A/P = 0,7588 m

Швидкість

V = (1/0,025)·0,7588^2/3·0,002^1/2 = 1,488 m/s

Витрата

Q = A·V = 5,665·1,488 = 8,43 m³/s

Відповідь

Q = 8,43 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001526 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1·0,7)·0,7 = 3,64 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,7·√(1 + 1²) = 6,48 m

R = A/P = 0,5617 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·4,4/(3,64·0,6808) = 0,03906

S = 0,03906² = 0,001526

Відповідь

S = 0,001526

Це зниження на 1,526 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering