Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече з витратою 16 L/s горизонтальною трубою, що звужується від 100 mm до 75 mm. Тиск у вузькій ділянці 100 kPa. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₁ у широкій ділянці.

Q = 16 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 100 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 90 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 20 mm, розташований на 5 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть швидкість струменя v. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 90 kPa (надлишковий)h = 5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 1,3 m/s горизонтальною трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 1,3 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Поверхня води у верхньому резервуарі на 12 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 12 mL = 500 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 150 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 10 m. ККД насоса 70%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 94%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 150 L/sH = 10 mη_pump = 70%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 24 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 70%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 24 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 5η = 70%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (оброблений бетон) має ширину по дну 2 m і закладання укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,5 m. n Маннінга = 0,012, ухил дна S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2 my = 1,5 mz = 1n = 0,012S = 0,004

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) з шириною по дну 1,5 m і закладанням укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 13 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,4 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 13 m³/sb = 1,5 my = 1,4 mz = 2n = 0,015

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 79,71 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·2,5 = 79,71 kN

Відповідь

F = 79,71 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,595 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·3 = 90,64 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 1/(3,5·3) = 3,595 m

Відповідь

y_cp = 3,595 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₁ = 104,5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкості

v₁ = Q/A₁ = 0,016/0,007854 = 2,037 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,016/0,004418 = 3,622 m/s

Бернуллі

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 100 + ½·1000·(3,622² − 2,037²)/1000 = 100 + 4,483 = 104,5 kPa

Відповідь

p₁ = 104,5 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 16,68 m/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(90000/1000 + 9,81·5)) = 16,68 m/s

Відповідь

v = 16,68 m/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 47,32 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(500/0,25)·1,3²/(2·9,81) = 4,824 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,824 = 47320 Pa = 47,32 kPa

Відповідь

Δp = 47,32 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 177,4 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·500/0,3 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

12 = (30 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·12/37,4) = 2,509 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 2,509·0,07069 = 0,1774 m³/s = 177,4 L/s

Відповідь

Q = 177,4 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 22,36 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·10 = 14,71 kW

Потужність на валу

P_shaft = 14,71/0,7 = 21,02 kW

Електрична потужність

P_el = 21,02/0,94 = 22,36 kW

Відповідь

P_el = 22,36 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 26,63 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (29,33 + 5)·0,408 = 14,01 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 24 + 14,01 = 38,01 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·38,01/0,7 = 26,63 kW

Відповідь

P_shaft = 26,63 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 24,65 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·1,5)·1,5 = 5,25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 6,243 m

R = A/P = 0,841 m

Швидкість

V = (1/0,012)·0,841^2/3·0,004^1/2 = 4,696 m/s

Витрата

Q = A·V = 5,25·4,696 = 24,65 m³/s

Відповідь

Q = 24,65 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001472 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·1,4)·1,4 = 6,02 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,4·√(1 + 2²) = 7,761 m

R = A/P = 0,7757 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·13/(6,02·0,8442) = 0,03837

S = 0,03837² = 0,001472

Відповідь

S = 0,001472

Це зниження на 1,472 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering