Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 100 mm до 75 mm. У широкій частині тиск 300 kPa, а швидкість 2,25 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 300 kPav₁ = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 150 mm до 75 mm і піднімається на 9 m. У перерізі 1 тиск 220 kPa, а швидкість 3 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 220 kPav₁ = 3 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,6 m/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,6 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Поверхня води у верхньому резервуарі на 12 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 12 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 82% подає 10 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 50 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 10 L/sH = 50 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 5 m вища. Труба довжиною 500 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 350 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 500 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 6p_tank = 350 kPa

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (необроблений бетон) має ширину по дну 2 m і закладання укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 0,7 m. n Маннінга = 0,014, ухил дна S = 0,0015. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2 my = 0,7 mz = 3n = 0,014S = 0,0015

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 300 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 0,6 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 386,3 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·7,5 = 386,3 kN

Відповідь

F = 386,3 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 1,556 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,5·1,5 = 22,62 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 0,125/(1,5·1,5) = 1,556 m

Відповідь

y_cp = 1,556 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 294,5 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(100/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 4²)/1000 = −5,469 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 300 + (−5,469) = 294,5 kPa

Відповідь

p₂ = 294,5 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 64,21 kPa

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(150/75)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−67,5) − 88,29 = 64,21 kPa

Відповідь

p₂ = 64,21 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 1,378 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,6²/(2·9,81) = 0,3445 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,25)·2,6²/(2·9,81) = 1,378 m

Відповідь

h_f = 1,378 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 168,8 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

12 = (7,2 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·12/19,9) = 3,44 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 3,44·0,04909 = 0,1688 m³/s = 168,8 L/s

Відповідь

Q = 168,8 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 5,982 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·50 = 4,905 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 4,905/0,82 = 5,982 kW

Відповідь

P_shaft = 5,982 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 72,41 m

Швидкість

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (90 + 6)·0,3305 = 31,73 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 35,68 + 31,73 = 72,41 m

Відповідь

H = 72,41 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 4,638 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2 + 3·0,7)·0,7 = 2,87 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0,7·√(1 + 3²) = 6,427 m

R = A/P = 0,4465 m

Швидкість

V = (1/0,014)·0,4465^2/3·0,0015^1/2 = 1,616 m/s

Витрата

Q = A·V = 2,87·1,616 = 4,638 m³/s

Відповідь

Q = 4,638 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001924 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1778)² = 0,001924

Відповідь

S = 0,001924

Це зниження на 1,924 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering