Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 200 mm і діаметром горловини 100 mm. Тиск на вході на 18 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 18 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Горизонтальним витратоміром Вентурі (вхід 100 mm, горловина 50 mm) тече вода. Ртутний U-подібний манометр, під’єднаний між входом і горловиною, показує різницю рівнів 280 mm. Коефіцієнт витрати 0,95. Знайдіть витрату Q. Прийміть ρ = 1000 kg/m³ для води, 13 600 kg/m³ для ртуті та g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmΔh = 280 mmC_d = 0,95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,2 m/s горизонтальною трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,2 m/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 28 m, а його вал споживає 8,5 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 20 L/sH = 28 mP_shaft = 8,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 7 m вища. Труба довжиною 500 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 400 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 5p_tank = 400 kPa

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (необроблений бетон) має ширину 4 m. Вода тече рівномірно з глибиною 1,7 m. n Маннінга = 0,014, ухил дна S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 4 my = 1,7 mn = 0,014S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 375 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 1 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 58,86 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Відповідь

F = 58,86 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 445 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4·9 = 445 kN

Відповідь

F = 445 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 48,67 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(100/200)² = 0,25·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·18000/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,197 m/s

v₁ = 1,549 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,007854·6,197 = 0,04867 m³/s = 48,67 L/s

Відповідь

Q = 48,67 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 16,03 L/s

Різниця тисків за манометром

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,28 = 34610 Pa

Швидкість у горловині

Рівняння нерозривності й рівняння Бернуллі разом дають ідеальну швидкість у горловині.

β = 50/100 = 0,5

v₂ = √(2·34610/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,593 m/s

Дійсна витрата

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,95·0,001963·8,593 = 0,01603 m³/s = 16,03 L/s

Відповідь

Q = 16,03 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 31,94 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(150/0,25)·2,2²/(2·9,81) = 3,256 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·3,256 = 31944 Pa = 31,94 kPa

Відповідь

Δp = 31,94 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 8,651 m

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·300/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Сумарні втрати напору

h_f = 24·0,3046 = 7,31 m

h_m = 4,4·0,3046 = 1,34 m

Δz = h_f + h_m = 8,651 m

Відповідь

Δz = 8,651 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 64,63 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·28 = 5,494 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 5,494/8,5 = 64,63%

Відповідь

η = 64,63%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 52,51 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0,1354 = 4,738 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 40,77 + 4,738 = 52,51 m

Відповідь

H = 52,51 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 12,99 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 4·1,7 = 6,8 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1,7 = 7,4 m

R = A/P = 0,9189 m

Швидкість

V = (1/0,014)·0,9189^2/3·0,0008^1/2 = 1,91 m/s

Витрата

Q = A·V = 6,8·1,91 = 12,99 m³/s

Відповідь

Q = 12,99 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,003968 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,2064)² = 0,003968

Відповідь

S = 0,003968

Це зниження на 3,968 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering