Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 200 mm до 100 mm. У широкій частині тиск 180 kPa, а швидкість 1,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 180 kPav₁ = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 75 mm до 40 mm і піднімається на 4 m. У перерізі 1 тиск 160 kPa, а швидкість 2 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 160 kPav₁ = 2 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 60 L/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 60 L/sL = 50 mD = 200 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 100 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 10 L/s?

Q = 10 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 44 m. ККД насоса 82%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 94%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 40 L/sH = 44 mη_pump = 82%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 22 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 72%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 22 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 1200 mm працює повністю заповненим (як відкритий канал, не під тиском). n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (гравій) шириною 3 m має пропускати 2,6 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,6 m. n Маннінга = 0,025. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 2,6 m³/sb = 3 my = 0,6 mn = 0,025

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 257,5 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·5 = 257,5 kN

Відповідь

F = 257,5 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 242,8 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,75·7,5 = 242,8 kN

Відповідь

F = 242,8 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 157 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(200/100)² = 7 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 7²)/1000 = −22,97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 180 + (−22,97) = 157 kPa

Відповідь

p₂ = 157 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 98,04 kPa

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/40)² = 7,031 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 7,031²)/1000 = −22,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 160 + (−22,72) − 39,24 = 98,04 kPa

Відповідь

p₂ = 98,04 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 1,394 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,91²/(2·9,81) = 0,1859 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,2)·1,91²/(2·9,81) = 1,394 m

Відповідь

h_f = 1,394 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 2,495 m

Швидкість

V = Q/A = 0,01/0,007854 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·150/0,1 = 22,5

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Сумарні втрати напору

h_f = 22,5·0,08263 = 1,859 m

h_m = 7,7·0,08263 = 0,6362 m

Δz = h_f + h_m = 2,495 m

Відповідь

Δz = 2,495 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 22,4 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·44 = 17,27 kW

Потужність на валу

P_shaft = 17,27/0,82 = 21,06 kW

Електрична потужність

P_el = 21,06/0,94 = 22,4 kW

Відповідь

P_el = 22,4 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 31,11 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,408 = 23,67 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 22 + 23,67 = 45,67 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·45,67/0,72 = 31,11 kW

Відповідь

P_shaft = 31,11 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 1,103 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 1,131 m², R = D/4 = 0,3 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,0008^1/2 = 0,975 m/s

Витрата

Q = A·V = 1,131·0,975 = 1,103 m³/s

Відповідь

Q = 1,103 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,004036 m/m

Геометрія

A = b·y = 3·0,6 = 1,8 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0,6 = 4,2 m

R = A/P = 0,4286 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·2,6/(1,8·0,5684) = 0,06353

S = 0,06353² = 0,004036

Відповідь

S = 0,004036

Це зниження на 4,036 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering