Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 75 mm до 50 mm. У широкій частині тиск 340 kPa, а швидкість 2,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 340 kPav₁ = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Шланг із внутрішнім діаметром 40 mm працює як сифон і відбирає воду з відкритого резервуара. Найвища точка шланга C на 0,5 m вище за поверхню води, а вихід (відкритий в атмосферу) на 1,5 m нижче за поверхню води. Нехтуйте втратами й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть абсолютний тиск p_C у точці C. Атмосферний тиск 101,3 kPa.

d = 40 mmz_C = +0,5 mz₂ = −1,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 40 L/s трубою довжиною 800 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 40 L/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Поверхня води у верхньому резервуарі на 38 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 38 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 10 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 52 m. ККД насоса 78%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 95%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 10 L/sH = 52 mη_pump = 78%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 5 m вища. Труба довжиною 600 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 80%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) має ширину по дну 5,5 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 0,8 m. n Маннінга = 0,03, ухил дна S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 5,5 my = 0,8 mz = 1,5n = 0,03S = 0,005

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (необроблений бетон) шириною 4,5 m має пропускати 15 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,9 m. n Маннінга = 0,014. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 15 m³/sb = 4,5 my = 0,9 mn = 0,014

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 44,15 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN

Відповідь

F = 44,15 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,595 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,5·4 = 173 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 1,333/(3,5·4) = 3,595 m

Відповідь

y_cp = 3,595 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 324,6 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(75/50)² = 6,188 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 6,188²)/1000 = −15,36 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 340 + (−15,36) = 324,6 kPa

Відповідь

p₂ = 324,6 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p_C = 81,68 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкість у шлангу

Поверхня і вихід відкриті в атмосферу, тож доданки тиску скорочуються.

v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(5,425²/2 + 9,81·0,5)/1000 = 101,3 − 19,62 = 81,68 kPa

Відповідь

p_C = 81,68 kPa

Якщо цей тиск знизиться до тиску насиченої пари води, сифон перестане працювати.

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 0,7834 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,04/0,07069 = 0,5659 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 0,5659²/(2·9,81) = 0,01632 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,3)·0,5659²/(2·9,81) = 0,7834 m

Відповідь

h_f = 0,7834 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 410,9 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·200/0,3 = 14,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

38 = (14,67 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·38/22,07) = 5,813 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 5,813·0,07069 = 0,4109 m³/s = 410,9 L/s

Відповідь

Q = 410,9 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 6,884 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·52 = 5,101 kW

Потужність на валу

P_shaft = 5,101/0,78 = 6,54 kW

Електрична потужність

P_el = 6,54/0,95 = 6,884 kW

Відповідь

P_el = 6,884 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 11,6 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (120 + 8)·0,3305 = 42,3 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 5 + 42,3 = 47,3 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·47,3/0,8 = 11,6 kW

Відповідь

P_shaft = 11,6 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 9,375 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1,5·0,8)·0,8 = 5,36 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,8·√(1 + 1,5²) = 8,384 m

R = A/P = 0,6393 m

Швидкість

V = (1/0,03)·0,6393^2/3·0,005^1/2 = 1,749 m/s

Витрата

Q = A·V = 5,36·1,749 = 9,375 m³/s

Відповідь

Q = 9,375 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,004846 m/m

Геометрія

A = b·y = 4,5·0,9 = 4,05 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·0,9 = 6,3 m

R = A/P = 0,6429 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·15/(4,05·0,7449) = 0,06961

S = 0,06961² = 0,004846

Відповідь

S = 0,004846

Це зниження на 4,846 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering