Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 75 mm до 50 mm. У широкій частині тиск 290 kPa, а швидкість 2 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 290 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Шланг із внутрішнім діаметром 25 mm працює як сифон і відбирає воду з відкритого резервуара. Найвища точка шланга C на 2 m вище за поверхню води, а вихід (відкритий в атмосферу) на 2 m нижче за поверхню води. Нехтуйте втратами й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть абсолютний тиск p_C у точці C. Атмосферний тиск 101,3 kPa.

d = 25 mmz_C = +2 mz₂ = −2 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 1,7 m/s горизонтальною трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 1,7 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 76 m, а його вал споживає 43,9 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 50 L/sH = 76 mP_shaft = 43,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 75 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 13 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 75 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (чистий ґрунт) має ширину 1 m. Вода тече рівномірно з глибиною 1,2 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,003. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 1 my = 1,2 mn = 0,022S = 0,003

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) з шириною по дну 1 m і закладанням укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 28 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,5 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 28 m³/sb = 1 my = 2,5 mz = 1n = 0,015

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 206 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Відповідь

F = 206 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 58,86 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Відповідь

F = 58,86 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 281,9 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4,5²)/1000 = −8,125 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 290 + (−8,125) = 281,9 kPa

Відповідь

p₂ = 281,9 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p_C = 62,06 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкість у шлангу

Поверхня і вихід відкриті в атмосферу, тож доданки тиску скорочуються.

v = √(2g·2) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(6,264²/2 + 9,81·2)/1000 = 101,3 − 39,24 = 62,06 kPa

Відповідь

p_C = 62,06 kPa

Якщо цей тиск знизиться до тиску насиченої пари води, сифон перестане працювати.

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 39,01 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(300/0,2)·1,7²/(2·9,81) = 3,977 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·3,977 = 39015 Pa = 39,01 kPa

Відповідь

Δp = 39,01 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 2,451 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·150/0,25 = 13,2

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Сумарні втрати напору

h_f = 13,2·0,119 = 1,571 m

h_m = 7,4·0,119 = 0,8805 m

Δz = h_f + h_m = 2,451 m

Відповідь

Δz = 2,451 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 84,92 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·76 = 37,28 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 37,28/43,9 = 84,92%

Відповідь

η = 84,92%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 21,13 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,2905 = 8,134 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 13 + 8,134 = 21,13 m

Відповідь

H = 21,13 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 1,492 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 1·1,2 = 1,2 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,2 = 3,4 m

R = A/P = 0,3529 m

Швидкість

V = (1/0,022)·0,3529^2/3·0,003^1/2 = 1,243 m/s

Витрата

Q = A·V = 1,2·1,243 = 1,492 m³/s

Відповідь

Q = 1,492 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,002069 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·2,5)·2,5 = 8,75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2,5·√(1 + 1²) = 8,071 m

R = A/P = 1,084 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·28/(8,75·1,055) = 0,04548

S = 0,04548² = 0,002069

Відповідь

S = 0,002069

Це зниження на 2,069 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering