Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 150 mm і діаметром горловини 75 mm. Тиск на вході на 59 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 59 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Шланг із внутрішнім діаметром 40 mm працює як сифон і відбирає воду з відкритого резервуара. Найвища точка шланга C на 2 m вище за поверхню води, а вихід (відкритий в атмосферу) на 3 m нижче за поверхню води. Нехтуйте втратами й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q.

d = 40 mmz_C = +2 mz₂ = −3 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,4 m/s горизонтальною трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,4 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 200 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Поверхня води у верхньому резервуарі на 32 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 0,2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 32 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 25 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 54 m. ККД насоса 70%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 90%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 25 L/sH = 54 mη_pump = 70%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 38 m вища. Труба довжиною 400 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 75%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 38 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8η = 75%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) має ширину по дну 2,5 m і закладання укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 2,2 m. n Маннінга = 0,03, ухил дна S = 0,003. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2,5 my = 2,2 mz = 3n = 0,03S = 0,003

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) з шириною по дну 4,5 m і закладанням укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 41 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,9 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 41 m³/sb = 4,5 my = 1,9 mz = 3n = 0,015

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 193,1 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·3,75 = 193,1 kN

Відповідь

F = 193,1 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 178,1 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,75·7,5 = 178,1 kN

Відповідь

F = 178,1 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 49,56 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(75/150)² = 0,25·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·59000/(1000·(1 − 0,0625))) = 11,22 m/s

v₁ = 2,805 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,004418·11,22 = 0,04956 m³/s = 49,56 L/s

Відповідь

Q = 49,56 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 9,641 L/s

Швидкість у шлангу

Поверхня і вихід відкриті в атмосферу, тож доданки тиску скорочуються.

v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,001257·7,672 = 0,009641 m³/s = 9,641 L/s

Відповідь

Q = 9,641 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 26,88 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(50/0,15)·2,4²/(2·9,81) = 2,74 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·2,74 = 26880 Pa = 26,88 kPa

Відповідь

Δp = 26,88 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 172,2 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·200/0,2 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

32 = (18 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·32/20,9) = 5,481 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 5,481·0,03142 = 0,1722 m³/s = 172,2 L/s

Відповідь

Q = 172,2 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 21,02 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·54 = 13,24 kW

Потужність на валу

P_shaft = 13,24/0,7 = 18,92 kW

Електрична потужність

P_el = 18,92/0,9 = 21,02 kW

Відповідь

P_el = 21,02 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 37,66 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0,408 = 19,59 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 38 + 19,59 = 57,59 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·57,59/0,75 = 37,66 kW

Відповідь

P_shaft = 37,66 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 41,73 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·2,2)·2,2 = 20,02 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,2·√(1 + 3²) = 16,41 m

R = A/P = 1,22 m

Швидкість

V = (1/0,03)·1,22^2/3·0,003^1/2 = 2,084 m/s

Витрата

Q = A·V = 20,02·2,084 = 41,73 m³/s

Відповідь

Q = 41,73 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0008137 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 3·1,9)·1,9 = 19,38 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,9·√(1 + 3²) = 16,52 m

R = A/P = 1,173 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·41/(19,38·1,112) = 0,02853

S = 0,02853² = 0,0008137

Відповідь

S = 0,0008137

Це зниження на 0,8137 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering