Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода витікає з великого відкритого резервуара через гострокромковий отвір діаметром 30 mm. Рівень води підтримують на 1,5 m вище за отвір, коефіцієнт витрати 0,62. Знайдіть витрату Q. Прийміть g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 1,5 mC_d = 0,62g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 25 mm і піднімається на 3 m. У перерізі 1 тиск 390 kPa, а швидкість 0,5 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 390 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,4 m/s горизонтальною трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,4 m/sL = 500 mD = 150 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 250 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 2). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 150 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 20 m, а його вал споживає 34,6 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 150 L/sH = 20 mP_shaft = 34,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 14 m вища. Труба довжиною 400 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 40 L/sΔz = 14 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (гравій) має ширину 4 m. Вода тече рівномірно з глибиною 1,4 m. n Маннінга = 0,025, ухил дна S = 0,003. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 4 my = 1,4 mn = 0,025S = 0,003

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (гравій) з шириною по дну 6 m і закладанням укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 13 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,5 m. n Маннінга = 0,025. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 13 m³/sb = 6 my = 1,5 mz = 2n = 0,025

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 110,4 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN

Відповідь

F = 110,4 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,519 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,5·2 = 77,7 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,1667/(4,5·2) = 4,519 m

Відповідь

y_cp = 4,519 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 2,377 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ідеальна швидкість струменя

√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Дійсна витрата

Коефіцієнт витрати враховує стиснення струменя і тертя на кромці.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,62·0,0007069·5,425 = 0,002377 m³/s = 2,377 L/s

Відповідь

Q = 2,377 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 328,7 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/25)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 8²)/1000 = −31,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−31,88) − 29,43 = 328,7 kPa

Відповідь

p₂ = 328,7 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 240 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,15)·2,4²/(2·9,81) = 24,46 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·24,46 = 240000 Pa = 240 kPa

Відповідь

Δp = 240 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 1,916 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·200/0,25 = 12

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 12 + 3,1)·0,119 = 1,916 m

Відповідь

H = 1,916 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 85,06 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·20 = 29,43 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 29,43/34,6 = 85,06%

Відповідь

η = 85,06%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 28,62 m

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 8)·0,2611 = 14,62 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 14 + 14,62 = 28,62 m

Відповідь

H = 28,62 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 10,78 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 4·1,4 = 5,6 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1,4 = 6,8 m

R = A/P = 0,8235 m

Швидкість

V = (1/0,025)·0,8235^2/3·0,003^1/2 = 1,925 m/s

Витрата

Q = A·V = 5,6·1,925 = 10,78 m³/s

Відповідь

Q = 10,78 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0005347 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (6 + 2·1,5)·1,5 = 13,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,5·√(1 + 2²) = 12,71 m

R = A/P = 1,062 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·13/(13,5·1,041) = 0,02312

S = 0,02312² = 0,0005347

Відповідь

S = 0,0005347

Це зниження на 0,5347 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering