Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 150 mm до 40 mm. У широкій частині тиск 240 kPa, а швидкість 0,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 240 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 50 mm і піднімається на 2 m. У перерізі 1 тиск 170 kPa, а швидкість 2,25 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 170 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 0,9 m/s трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 0,9 m/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Поверхня води у верхньому резервуарі на 22 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 22 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 100 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 14 m, а його вал споживає 17,2 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 100 L/sH = 14 mP_shaft = 17,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 9 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 72%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 5η = 72%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) має ширину по дну 3 m і закладання укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,7 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3 my = 1,7 mz = 1n = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) з шириною по дну 4,5 m і закладанням укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 25 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,2 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 25 m³/sb = 4,5 my = 1,2 mz = 1,5n = 0,015

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 73,58 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Відповідь

F = 73,58 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 59,35 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,75·2,5 = 59,35 kN

Відповідь

F = 59,35 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 184,7 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(150/40)² = 10,55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 10,55²)/1000 = −55,34 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 240 + (−55,34) = 184,7 kPa

Відповідь

p₂ = 184,7 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 112,4 kPa

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(100/50)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 170 + (−37,97) − 19,62 = 112,4 kPa

Відповідь

p₂ = 112,4 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 6,881 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 0,9²/(2·9,81) = 0,04128 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,15)·0,9²/(2·9,81) = 6,881 m

Відповідь

h_f = 6,881 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 191,4 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·300/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

22 = (24 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·22/28,4) = 3,899 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 3,899·0,04909 = 0,1914 m³/s = 191,4 L/s

Відповідь

Q = 191,4 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 79,85 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·14 = 13,73 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 13,73/17,2 = 79,85%

Відповідь

η = 79,85%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 7,04 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 5)·0,2611 = 3,917 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 9 + 3,917 = 12,92 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·12,92/0,72 = 7,04 kW

Відповідь

P_shaft = 7,04 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 10,43 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·1,7)·1,7 = 7,99 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,7·√(1 + 1²) = 7,808 m

R = A/P = 1,023 m

Швидкість

V = (1/0,022)·1,023^2/3·0,0008^1/2 = 1,306 m/s

Витрата

Q = A·V = 7,99·1,306 = 10,43 m³/s

Відповідь

Q = 10,43 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,003025 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·1,2)·1,2 = 7,56 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,2·√(1 + 1,5²) = 8,827 m

R = A/P = 0,8565 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·25/(7,56·0,9019) = 0,055

S = 0,055² = 0,003025

Відповідь

S = 0,003025

Це зниження на 3,025 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering