Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече з витратою 25 L/s горизонтальною трубою, що звужується від 100 mm до 75 mm. Тиск у вузькій ділянці 70 kPa. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₁ у широкій ділянці.

Q = 25 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 70 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 150 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 25 mm, розташований на 2,5 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 150 kPa (надлишковий)h = 2,5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 1 m/s трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 1 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 100 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Поверхня води у верхньому резервуарі на 20 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 20 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 32 m. ККД насоса 80%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 92%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 20 L/sH = 32 mη_pump = 80%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 22 m вища. Труба довжиною 600 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 80 L/sΔz = 22 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) має ширину по дну 5,5 m і закладання укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,1 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 5,5 my = 1,1 mz = 2n = 0,022S = 0,004

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) з шириною по дну 2,5 m і закладанням укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 16 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,1 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 16 m³/sb = 2,5 my = 2,1 mz = 1n = 0,03

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 49,66 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·2,25 = 49,66 kN

Відповідь

F = 49,66 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 209,7 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·4,5 = 209,7 kN

Відповідь

F = 209,7 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₁ = 80,95 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкості

v₁ = Q/A₁ = 0,025/0,007854 = 3,183 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,025/0,004418 = 5,659 m/s

Бернуллі

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 70 + ½·1000·(5,659² − 3,183²)/1000 = 70 + 10,95 = 80,95 kPa

Відповідь

p₁ = 80,95 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 9,171 L/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(150000/1000 + 9,81·2,5)) = 18,68 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,0004909·18,68 = 0,009171 m³/s = 9,171 L/s

Відповідь

Q = 9,171 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 6,116 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1²/(2·9,81) = 0,05097 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(400/0,1)·1²/(2·9,81) = 6,116 m

Відповідь

h_f = 6,116 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 26,53 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·200/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

20 = (30 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·20/34,4) = 3,377 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 3,377·0,007854 = 0,02653 m³/s = 26,53 L/s

Відповідь

Q = 26,53 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 8,53 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·32 = 6,278 kW

Потужність на валу

P_shaft = 6,278/0,8 = 7,848 kW

Електрична потужність

P_el = 7,848/0,92 = 8,53 kW

Відповідь

P_el = 8,53 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 49,43 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 8)·0,3305 = 27,43 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 22 + 27,43 = 49,43 m

Відповідь

H = 49,43 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 21,21 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 2·1,1)·1,1 = 8,47 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·1,1·√(1 + 2²) = 10,42 m

R = A/P = 0,8129 m

Швидкість

V = (1/0,022)·0,8129^2/3·0,004^1/2 = 2,504 m/s

Витрата

Q = A·V = 8,47·2,504 = 21,21 m³/s

Відповідь

Q = 21,21 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,002062 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·2,1)·2,1 = 9,66 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,1·√(1 + 1²) = 8,44 m

R = A/P = 1,145 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·16/(9,66·1,094) = 0,04541

S = 0,04541² = 0,002062

Відповідь

S = 0,002062

Це зниження на 2,062 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering