Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода витікає з великого відкритого резервуара через гострокромковий отвір діаметром 30 mm. Рівень води підтримують на 4 m вище за отвір, коефіцієнт витрати 0,65. Знайдіть витрату Q. Прийміть g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 4 mC_d = 0,65g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 80 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 50 mm, розташований на 3 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 80 kPa (надлишковий)h = 3 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 1,6 m/s горизонтальною трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 1,6 m/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,025. Поверхня води у верхньому резервуарі на 21 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 21 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 62 m, а його вал споживає 29,7 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 40 L/sH = 62 mP_shaft = 29,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 16 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 75%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 40 L/sΔz = 16 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 5η = 75%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (чистий ґрунт) має ширину 3,5 m. Вода тече рівномірно з глибиною 1,5 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3,5 my = 1,5 mn = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (ґрунт, укріплений травою) шириною 5,5 m має пропускати 5,5 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,2 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 5,5 m³/sb = 5,5 my = 1,2 mn = 0,03

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 95,65 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·3 = 95,65 kN

Відповідь

F = 95,65 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,481 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,25·3,75 = 104,3 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 1,953/(2,25·3,75) = 2,481 m

Відповідь

y_cp = 2,481 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 4,07 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ідеальна швидкість струменя

√(2gh) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Дійсна витрата

Коефіцієнт витрати враховує стиснення струменя і тертя на кромці.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,65·0,0007069·8,859 = 0,00407 m³/s = 4,07 L/s

Відповідь

Q = 4,07 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 29,05 L/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(80000/1000 + 9,81·3)) = 14,79 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,001963·14,79 = 0,02905 m³/s = 29,05 L/s

Відповідь

Q = 29,05 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 107,5 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,1)·1,6²/(2·9,81) = 10,96 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·10,96 = 107520 Pa = 107,5 kPa

Відповідь

Δp = 107,5 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 203 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

21 = (20 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·21/24,1) = 4,135 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,135·0,04909 = 0,203 m³/s = 203 L/s

Відповідь

Q = 203 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 81,92 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·62 = 24,33 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 24,33/29,7 = 81,92%

Відповідь

η = 81,92%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 13,15 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0,2611 = 9,14 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 16 + 9,14 = 25,14 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·25,14/0,75 = 13,15 kW

Відповідь

P_shaft = 13,15 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 5,854 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 3,5·1,5 = 5,25 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1,5 = 6,5 m

R = A/P = 0,8077 m

Швидкість

V = (1/0,022)·0,8077^2/3·0,0008^1/2 = 1,115 m/s

Витрата

Q = A·V = 5,25·1,115 = 5,854 m³/s

Відповідь

Q = 5,854 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0007943 m/m

Геометрія

A = b·y = 5,5·1,2 = 6,6 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·1,2 = 7,9 m

R = A/P = 0,8354 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·5,5/(6,6·0,887) = 0,02818

S = 0,02818² = 0,0007943

Відповідь

S = 0,0007943

Це зниження на 0,7943 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering