Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 75 mm до 25 mm. У широкій частині тиск 160 kPa, а швидкість 0,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 160 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Шланг із внутрішнім діаметром 32 mm працює як сифон і відбирає воду з відкритого резервуара. Найвища точка шланга C на 3 m вище за поверхню води, а вихід (відкритий в атмосферу) на 5 m нижче за поверхню води. Нехтуйте втратами й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q.

d = 32 mmz_C = +3 mz₂ = −5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 3 m/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 3 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Поверхня води у верхньому резервуарі на 15 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 15 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 44 m. ККД насоса 72%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 95%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 50 L/sH = 44 mη_pump = 72%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 21 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (цегляна кладка) має ширину 6 m. Вода тече рівномірно з глибиною 1,1 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 6 my = 1,1 mn = 0,015S = 0,005

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (гравій) шириною 1 m має пропускати 1,8 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,1 m. n Маннінга = 0,025. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 1,8 m³/sb = 1 my = 2,1 mn = 0,025

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 239,1 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·7,5 = 239,1 kN

Відповідь

F = 239,1 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 100,6 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·4 = 100,6 kN

Відповідь

F = 100,6 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 137,5 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(75/25)² = 6,75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 6,75²)/1000 = −22,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 160 + (−22,5) = 137,5 kPa

Відповідь

p₂ = 137,5 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 7,966 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкість у шлангу

Поверхня і вихід відкриті в атмосферу, тож доданки тиску скорочуються.

v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,0008042·9,905 = 0,007966 m³/s = 7,966 L/s

Відповідь

Q = 7,966 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 5,505 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 3²/(2·9,81) = 0,4587 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,075)·3²/(2·9,81) = 5,505 m

Відповідь

h_f = 5,505 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 245,5 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

15 = (20 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·15/24,4) = 3,473 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 3,473·0,07069 = 0,2455 m³/s = 245,5 L/s

Відповідь

Q = 245,5 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 31,55 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·44 = 21,58 kW

Потужність на валу

P_shaft = 21,58/0,72 = 29,98 kW

Електрична потужність

P_el = 29,98/0,95 = 31,55 kW

Відповідь

P_el = 31,55 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 34,47 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0,408 = 13,47 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 21 + 13,47 = 34,47 m

Відповідь

H = 34,47 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 26,92 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 6·1,1 = 6,6 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1,1 = 8,2 m

R = A/P = 0,8049 m

Швидкість

V = (1/0,015)·0,8049^2/3·0,005^1/2 = 4,079 m/s

Витрата

Q = A·V = 6,6·4,079 = 26,92 m³/s

Відповідь

Q = 26,92 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001538 m/m

Геометрія

A = b·y = 1·2,1 = 2,1 m²

P = b + 2y = 1 + 2·2,1 = 5,2 m

R = A/P = 0,4038 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·1,8/(2,1·0,5464) = 0,03922

S = 0,03922² = 0,001538

Відповідь

S = 0,001538

Це зниження на 1,538 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering