Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече з витратою 19 L/s горизонтальною трубою, що звужується від 100 mm до 75 mm. Тиск у вузькій ділянці 280 kPa. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₁ у широкій ділянці.

Q = 19 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 280 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 200 mm до 100 mm і піднімається на 2 m. У перерізі 1 тиск 170 kPa, а швидкість 1,25 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 170 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 1,4 m/s трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 1,4 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 150 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 5). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 28 m, а його вал споживає 14,6 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 40 L/sH = 28 mP_shaft = 14,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 13 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 80 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) має ширину по дну 1 m і закладання укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,1 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,0005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 1 my = 1,1 mz = 2n = 0,015S = 0,0005

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (гравій) з шириною по дну 6 m і закладанням укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 11 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1 m. n Маннінга = 0,025. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 11 m³/sb = 6 my = 1 mz = 1n = 0,025

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 275,9 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·7,5 = 275,9 kN

Відповідь

F = 275,9 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,083 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1/(4·3) = 4,083 m

Відповідь

y_cp = 4,083 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₁ = 286,3 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкості

v₁ = Q/A₁ = 0,019/0,007854 = 2,419 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,019/0,004418 = 4,301 m/s

Бернуллі

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 280 + ½·1000·(4,301² − 2,419²)/1000 = 280 + 6,322 = 286,3 kPa

Відповідь

p₁ = 286,3 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 138,7 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(200/100)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 5²)/1000 = −11,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 170 + (−11,72) − 19,62 = 138,7 kPa

Відповідь

p₂ = 138,7 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 3,996 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,4²/(2·9,81) = 0,0999 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,075)·1,4²/(2·9,81) = 3,996 m

Відповідь

h_f = 3,996 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 2,244 m

Швидкість

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·200/0,15 = 26,67

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 26,67 + 6,7)·0,06529 = 2,244 m

Відповідь

H = 2,244 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 75,25 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·28 = 10,99 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 10,99/14,6 = 75,25%

Відповідь

η = 75,25%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 22,09 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 5)·0,3305 = 9,089 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 13 + 9,089 = 22,09 m

Відповідь

H = 22,09 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 3,711 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·1,1)·1,1 = 3,52 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,1·√(1 + 2²) = 5,919 m

R = A/P = 0,5947 m

Швидкість

V = (1/0,015)·0,5947^2/3·0,0005^1/2 = 1,054 m/s

Витрата

Q = A·V = 3,52·1,054 = 3,711 m³/s

Відповідь

Q = 3,711 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,002103 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·1)·1 = 7 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1·√(1 + 1²) = 8,828 m

R = A/P = 0,7929 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·11/(7·0,8567) = 0,04586

S = 0,04586² = 0,002103

Відповідь

S = 0,002103

Це зниження на 2,103 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering