Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 100 mm до 50 mm. У широкій частині тиск 320 kPa, а швидкість 1,25 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 320 kPav₁ = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 30 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 50 mm, розташований на 2,5 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть швидкість струменя v. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 30 kPa (надлишковий)h = 2,5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 15 L/s трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 15 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,025. Поверхня води у верхньому резервуарі на 28 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 28 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 78 m, а його вал споживає 87,4 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 80 L/sH = 78 mP_shaft = 87,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 120 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 5 m вища. Труба довжиною 400 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 2,5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 65%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 120 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 2,5η = 65%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) має ширину по дну 4,5 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 2,2 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 4,5 my = 2,2 mz = 1,5n = 0,022S = 0,002

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) з шириною по дну 6 m і закладанням укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 4,4 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,8 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 4,4 m³/sb = 6 my = 0,8 mz = 1,5n = 0,022

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 386,3 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·7,5 = 386,3 kN

Відповідь

F = 386,3 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,8 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,5·6 = 185,4 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,5 + 4,5/(2,5·6) = 2,8 m

Відповідь

y_cp = 2,8 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 308,3 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(100/50)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 5²)/1000 = −11,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 320 + (−11,72) = 308,3 kPa

Відповідь

p₂ = 308,3 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 10,44 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(30000/1000 + 9,81·2,5)) = 10,44 m/s

Відповідь

v = 10,44 m/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 1,469 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,015/0,01767 = 0,8488 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,15)·0,8488²/(2·9,81) = 1,469 m

Відповідь

h_f = 1,469 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 308,9 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,025·200/0,3 = 16,67

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

28 = (16,67 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·28/28,77) = 4,37 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,37·0,07069 = 0,3089 m³/s = 308,9 L/s

Відповідь

Q = 308,9 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 70,04 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·78 = 61,21 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 61,21/87,4 = 70,04%

Відповідь

η = 70,04%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 23,67 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 2,5)·0,3046 = 8,072 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 5 + 8,072 = 13,07 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·13,07/0,65 = 23,67 kW

Відповідь

P_shaft = 23,67 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 43,24 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·2,2)·2,2 = 17,16 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·2,2·√(1 + 1,5²) = 12,43 m

R = A/P = 1,38 m

Швидкість

V = (1/0,022)·1,38^2/3·0,002^1/2 = 2,52 m/s

Витрата

Q = A·V = 17,16·2,52 = 43,24 m³/s

Відповідь

Q = 43,24 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0005033 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (6 + 1,5·0,8)·0,8 = 5,76 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0,8·√(1 + 1,5²) = 8,884 m

R = A/P = 0,6483 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·4,4/(5,76·0,7491) = 0,02243

S = 0,02243² = 0,0005033

Відповідь

S = 0,0005033

Це зниження на 0,5033 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering