Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 100 mm до 50 mm. У широкій частині тиск 250 kPa, а швидкість 0,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 250 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 50 mm і піднімається на 8 m. У перерізі 1 тиск 310 kPa, а швидкість 1,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 310 kPav₁ = 1,75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 3 L/s трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 3 L/sL = 200 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 60% подає 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 78 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 40 L/sH = 78 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 75 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 9 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 80%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 75 L/sΔz = 9 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) має ширину по дну 1 m і закладання укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,4 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 1 my = 1,4 mz = 1n = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 375 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 1,2 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 198,7 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·4,5 = 198,7 kN

Відповідь

F = 198,7 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,375 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·4,5 = 111,2 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 3,375/(2·4,5) = 2,375 m

Відповідь

y_cp = 2,375 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 245,8 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/50)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−4,219) = 245,8 kPa

Відповідь

p₂ = 245,8 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 208,6 kPa

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(100/50)² = 7 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 7²)/1000 = −22,97 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 310 + (−22,97) − 78,48 = 208,6 kPa

Відповідь

p₂ = 208,6 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 1,128 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,003/0,004418 = 0,6791 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 0,6791²/(2·9,81) = 0,0235 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,075)·0,6791²/(2·9,81) = 1,128 m

Відповідь

h_f = 1,128 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 2,795 m

Швидкість

V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Сумарні втрати напору

h_f = 20·0,102 = 2,04 m

h_m = 7,4·0,102 = 0,7549 m

Δz = h_f + h_m = 2,795 m

Відповідь

Δz = 2,795 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 51,01 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·78 = 30,61 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 30,61/0,6 = 51,01 kW

Відповідь

P_shaft = 51,01 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 15,76 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,2905 = 8,134 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 9 + 8,134 = 17,13 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·17,13/0,8 = 15,76 kW

Відповідь

P_shaft = 15,76 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 3,332 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·1,4)·1,4 = 3,36 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,4·√(1 + 1²) = 4,96 m

R = A/P = 0,6774 m

Швидкість

V = (1/0,022)·0,6774^2/3·0,0008^1/2 = 0,9917 m/s

Витрата

Q = A·V = 3,36·0,9917 = 3,332 m³/s

Відповідь

Q = 3,332 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,005714 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,2064)² = 0,005714

Відповідь

S = 0,005714

Це зниження на 5,714 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering