Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Трубка Піто–Прандтля у водопровідній трубі показує різницю 29 kPa між тиском гальмування і статичним тиском. Знайдіть швидкість води v біля носика трубки.

p₀ − p = 29 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 50 mm і піднімається на 7 m. У перерізі 1 тиск 390 kPa, а швидкість 2,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 390 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 0,9 m/s горизонтальною трубою довжиною 800 m з внутрішнім діаметром 50 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 0,9 m/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 200 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 2). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 78 m. ККД насоса 82%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 88%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 80 L/sH = 78 mη_pump = 82%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 6 m вища. Труба довжиною 500 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) має ширину по дну 4,5 m і закладання укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,1 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,0015. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 4,5 my = 1,1 mz = 1n = 0,022S = 0,0015

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (ґрунт, укріплений травою) шириною 6 m має пропускати 20 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,2 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 20 m³/sb = 6 my = 2,2 mn = 0,03

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 176,6 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Відповідь

F = 176,6 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,167 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·6 = 120,7 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 2/(2·6) = 2,167 m

Відповідь

y_cp = 2,167 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 7,616 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі до точки гальмування

Біля носика потік зупиняється, тож його кінетична енергія проявляється як додатковий тиск.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·29000/1000) = 7,616 m/s

Відповідь

v = 7,616 m/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 264,6 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 11²)/1000 = −56,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−56,72) − 68,67 = 264,6 kPa

Відповідь

p₂ = 264,6 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 142,6 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(800/0,05)·0,9²/(2·9,81) = 14,53 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·14,53 = 142560 Pa = 142,6 kPa

Відповідь

Δp = 142,6 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 2,807 m

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·100/0,2 = 11

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 11 + 3,1)·0,1859 = 2,807 m

Відповідь

H = 2,807 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 84,83 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·78 = 61,21 kW

Потужність на валу

P_shaft = 61,21/0,82 = 74,65 kW

Електрична потужність

P_el = 74,65/0,88 = 84,83 kW

Відповідь

P_el = 84,83 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 36,47 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66,67 + 8)·0,408 = 30,47 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 6 + 30,47 = 36,47 m

Відповідь

H = 36,47 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 9,418 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1·1,1)·1,1 = 6,16 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,1·√(1 + 1²) = 7,611 m

R = A/P = 0,8093 m

Швидкість

V = (1/0,022)·0,8093^2/3·0,0015^1/2 = 1,529 m/s

Витрата

Q = A·V = 6,16·1,529 = 9,418 m³/s

Відповідь

Q = 9,418 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001503 m/m

Геометрія

A = b·y = 6·2,2 = 13,2 m²

P = b + 2y = 6 + 2·2,2 = 10,4 m

R = A/P = 1,269 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·20/(13,2·1,172) = 0,03877

S = 0,03877² = 0,001503

Відповідь

S = 0,001503

Це зниження на 1,503 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering