Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 200 mm до 100 mm. У широкій частині тиск 240 kPa, а швидкість 2,5 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 240 kPav₁ = 2,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Горизонтальним витратоміром Вентурі (вхід 80 mm, горловина 40 mm) тече вода. Ртутний U-подібний манометр, під’єднаний між входом і горловиною, показує різницю рівнів 400 mm. Коефіцієнт витрати 0,96. Знайдіть витрату Q. Прийміть ρ = 1000 kg/m³ для води, 13 600 kg/m³ для ртуті та g = 9,81 m/s².

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmΔh = 400 mmC_d = 0,96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,5 m/s трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,5 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Поверхня води у верхньому резервуарі на 23 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 23 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 85% подає 150 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 32 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 150 L/sH = 32 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 14 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 65%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 14 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 5η = 65%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 300 mm працює повністю заповненим (як відкритий канал, не під тиском). n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,005

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 375 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 1,2 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 68,67 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·2 = 68,67 kN

Відповідь

F = 68,67 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,595 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,5·3 = 105,6 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 1/(3,5·3) = 3,595 m

Відповідь

y_cp = 3,595 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 193,1 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(200/100)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 240 + (−46,88) = 193,1 kPa

Відповідь

p₂ = 193,1 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 12,39 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Різниця тисків за манометром

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,4 = 49442 Pa

Швидкість у горловині

Рівняння нерозривності й рівняння Бернуллі разом дають ідеальну швидкість у горловині.

β = 40/80 = 0,5

v₂ = √(2·49442/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,27 m/s

Дійсна витрата

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,96·0,001257·10,27 = 0,01239 m³/s = 12,39 L/s

Відповідь

Q = 12,39 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 5,734 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,2)·2,5²/(2·9,81) = 5,734 m

Відповідь

h_f = 5,734 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 356,6 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·200/0,3 = 13,33

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

23 = (13,33 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·23/17,73) = 5,045 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 5,045·0,07069 = 0,3566 m³/s = 356,6 L/s

Відповідь

Q = 356,6 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 55,4 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·32 = 47,09 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 47,09/0,85 = 55,4 kW

Відповідь

P_shaft = 55,4 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 17,65 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 5)·0,408 = 9,385 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 14 + 9,385 = 23,38 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·23,38/0,65 = 17,65 kW

Відповідь

P_shaft = 17,65 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,06838 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,005^1/2 = 0,9673 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,07069·0,9673 = 0,06838 m³/s

Відповідь

Q = 0,06838 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,005714 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,2064)² = 0,005714

Відповідь

S = 0,005714

Це зниження на 5,714 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering