Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 150 mm до 75 mm. У широкій частині тиск 120 kPa, а швидкість 0,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 120 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Шланг із внутрішнім діаметром 25 mm працює як сифон і відбирає воду з відкритого резервуара. Найвища точка шланга C на 3 m вище за поверхню води, а вихід (відкритий в атмосферу) на 2 m нижче за поверхню води. Нехтуйте втратами й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть абсолютний тиск p_C у точці C. Атмосферний тиск 101,3 kPa.

d = 25 mmz_C = +3 mz₂ = −2 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,8 m/s горизонтальною трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,8 m/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Поверхня води у верхньому резервуарі на 38 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 38 mL = 400 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 38 m, а його вал споживає 25,9 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 50 L/sH = 38 mP_shaft = 25,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 20 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 82%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 20 L/sΔz = 20 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (необроблений бетон) має ширину 4,5 m. Вода тече рівномірно з глибиною 1,3 m. n Маннінга = 0,014, ухил дна S = 0,0015. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 4,5 my = 1,3 mn = 0,014S = 0,0015

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (ґрунт, укріплений травою) шириною 3,5 m має пропускати 4,8 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,3 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 4,8 m³/sb = 3,5 my = 1,3 mn = 0,03

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 206 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Відповідь

F = 206 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 37,08 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·1,5 = 37,08 kN

Відповідь

F = 37,08 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 115,8 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(150/75)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 120 + (−4,219) = 115,8 kPa

Відповідь

p₂ = 115,8 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p_C = 52,25 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкість у шлангу

Поверхня і вихід відкриті в атмосферу, тож доданки тиску скорочуються.

v = √(2g·2) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(6,264²/2 + 9,81·3)/1000 = 101,3 − 49,05 = 52,25 kPa

Відповідь

p_C = 52,25 kPa

Якщо цей тиск знизиться до тиску насиченої пари води, сифон перестане працювати.

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 65,33 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(200/0,3)·2,8²/(2·9,81) = 6,66 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·6,66 = 65333 Pa = 65,33 kPa

Відповідь

Δp = 65,33 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 348 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·400/0,3 = 26,67

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

38 = (26,67 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·38/30,77) = 4,923 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,923·0,07069 = 0,348 m³/s = 348 L/s

Відповідь

Q = 348 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 71,97 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·38 = 18,64 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 18,64/25,9 = 71,97%

Відповідь

η = 71,97%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 7 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,3305 = 9,254 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 20 + 9,254 = 29,25 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·29,25/0,82 = 7 kW

Відповідь

P_shaft = 7 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 14,22 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 4,5·1,3 = 5,85 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,3 = 7,1 m

R = A/P = 0,8239 m

Швидкість

V = (1/0,014)·0,8239^2/3·0,0015^1/2 = 2,431 m/s

Витрата

Q = A·V = 5,85·2,431 = 14,22 m³/s

Відповідь

Q = 14,22 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001481 m/m

Геометрія

A = b·y = 3,5·1,3 = 4,55 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1,3 = 6,1 m

R = A/P = 0,7459 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·4,8/(4,55·0,8225) = 0,03848

S = 0,03848² = 0,001481

Відповідь

S = 0,001481

Це зниження на 1,481 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering