Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече з витратою 5 L/s горизонтальною трубою, що звужується від 150 mm до 75 mm. Тиск у вузькій ділянці 160 kPa. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₁ у широкій ділянці.

Q = 5 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 160 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Сопло фонтана спрямоване вертикально вгору. Безпосередньо під соплом підвідна труба має діаметр 75 mm і надлишковий тиск 90 kPa. Діаметр вихідного отвору сопла 30 mm, різницею висот у межах сопла можна знехтувати. Нехтуючи втратами й опором повітря, знайдіть висоту H, на яку струмінь піднімається над соплом. Прийміть g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 90 kPa (надлишковий)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 0,8 m/s горизонтальною трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 0,8 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,025. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 76 m, а його вал споживає 36,4 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 40 L/sH = 76 mP_shaft = 36,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 28 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 65%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 40 L/sΔz = 28 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (цегляна кладка) має ширину 3 m. Вода тече рівномірно з глибиною 0,5 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,003. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3 my = 0,5 mn = 0,015S = 0,003

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (чистий ґрунт) шириною 1 m має пропускати 0,85 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,6 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 0,85 m³/sb = 1 my = 1,6 mn = 0,022

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 34,34 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·1 = 34,34 kN

Відповідь

F = 34,34 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 197,8 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4·4 = 197,8 kN

Відповідь

F = 197,8 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₁ = 160,6 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкості

v₁ = Q/A₁ = 0,005/0,01767 = 0,2829 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,005/0,004418 = 1,132 m/s

Бернуллі

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 160 + ½·1000·(1,132² − 0,2829²)/1000 = 160 + 0,6004 = 160,6 kPa

Відповідь

p₁ = 160,6 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: H = 9,415 m

Швидкість на виході

β = 30/75 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0,9744)) = 13,59 m/s

Висота струменя

Рівняння Бернуллі вздовж струменя: у верхній точці швидкість дорівнює нулю, а тиск знову атмосферний.

H = v₂²/(2g) = 13,59²/(2·9,81) = 9,415 m

Відповідь

H = 9,415 m

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 7,2 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,2)·0,8²/(2·9,81) = 0,7339 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,7339 = 7200 Pa = 7,2 kPa

Відповідь

Δp = 7,2 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 5,74 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,025·300/0,25 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Сумарні втрати напору

h_f = 30·0,1354 = 4,061 m

h_m = 12,4·0,1354 = 1,679 m

Δz = h_f + h_m = 5,74 m

Відповідь

Δz = 5,74 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 81,93 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·76 = 29,82 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 29,82/36,4 = 81,93%

Відповідь

η = 81,93%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 21,63 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0,2611 = 7,834 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 28 + 7,834 = 35,83 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·35,83/0,65 = 21,63 kW

Відповідь

P_shaft = 21,63 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 2,848 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 3·0,5 = 1,5 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0,5 = 4 m

R = A/P = 0,375 m

Швидкість

V = (1/0,015)·0,375^2/3·0,003^1/2 = 1,899 m/s

Витрата

Q = A·V = 1,5·1,899 = 2,848 m³/s

Відповідь

Q = 2,848 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0004946 m/m

Геометрія

A = b·y = 1·1,6 = 1,6 m²

P = b + 2y = 1 + 2·1,6 = 4,2 m

R = A/P = 0,381 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·0,85/(1,6·0,5255) = 0,02224

S = 0,02224² = 0,0004946

Відповідь

S = 0,0004946

Це зниження на 0,4946 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering