Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 45 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 45 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 9 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 9 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 9 kg і 5,5 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a вантажів.

m₁ = 9 kgm₂ = 5,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 25° зі швидкістю 9,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 9,5 m/sθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 26 m/s, і він має впасти на відстані 65 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 26 m/sR = 65 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з вершини скелі висотою 25 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 33 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Інженер-дорожник хоче, щоб автомобілі проходили поворот радіусом 240 m зі швидкістю 60 km/h без опори на тертя. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кут нахилу полотна θ.

r = 240 mv = 60 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 180 m має нахил полотна 30°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 180 mθ = 30°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2 kg ковзає 18 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,35. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2 kgθ = 45°μ = 0,35d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,25). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 6 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 3 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0,25d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 3,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 17 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 3,5 kgh = 17 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,3 kg ударяється об стіну зі швидкістю 8 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 13 m/s. Контакт триває 50 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,3 kgv_in = 8 m/sv_out = 13 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,9 m має період 4,49 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,9 mT = 4,49 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,8 kg на пружині з k = 210 N/m відтягують на 3 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,8 kgk = 210 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 500 Гц, що рухається зі швидкістю 30 м/с, і спостерігач, що рухається зі швидкістю 15 м/с, віддаляються один від одного. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 600 нм падає на дві щілини на відстані 0,25 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1,2 м. Знайдіть відстань y₄ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 4.

λ = 600 nmd = 0,25 mmL = 1,2 mm = 4

y₄ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 11,16 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·7) = 11,16 m

Відповідь

s = 11,16 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,135 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−20 = 9·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 9·t − 20 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (9 + √(9² + 2·9,81·20))/9,81 = 3,135 s

Відповідь

t = 3,135 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,368 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (9 − 5,5)·9,81/(9 + 5,5) = 2,368 m/s²

Відповідь

a = 2,368 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 7,086 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 25° + 0,25·cos 25°) = 6,369 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 9,5²/(2·6,369) = 7,086 m

Відповідь

d = 7,086 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 35,3 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·65/26² = 0,9433

Кут

2θ = 70,61° → θ = 35,3°

Відповідь

θ = 35,3°

Інший розв’язок 90° − θ = 54,7°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,684 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 20° = 31,01 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 20° = 11,29 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 25 + 11,29·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11,29 + √(127,4 + 490,5))/9,81 = 3,684 s

Відповідь

t = 3,684 s

7.Рух по колу

Відповідь: θ = 6,729 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Одиниці

v = 60/3,6 = 16,67 m/s

Кут нахилу полотна

tan θ = v²/(r·g) = 16,67²/(240·9,81) = 0,118

θ = 6,729°

Відповідь

θ = 6,729°

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 37,5 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(180·9,81·0,6299/0,791) = 37,5 m/s

Відповідь

v_max = 37,5 m/s

(135 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 87,4 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 19,62·0,7071 = 13,87 N

F = μN = 0,35·13,87 = 4,856 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 4,856·18 = 87,4 J

Відповідь

W_f = 87,4 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,425 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 58,86·3 = 176,6 J

μ·m₁g·d = 0,25·39,24·3 = 29,43 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 147,1 → v = √(2·147,1/10) = 5,425 m/s

Відповідь

v = 5,425 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 800,8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,17) = 1,826 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 3,5)·1,826/0,008 = 800,8 m/s

Відповідь

v = 800,8 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 126 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,3·(13 + 8) = 6,3 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 6,3/0,05 = 126 N

Відповідь

F_avg = 126 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,721 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,9/4,49² = 3,721 m/s²

Відповідь

g = 3,721 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 2,25 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(210/2,8) = 8,66 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,03·8,66² = 2,25 m/s²

Відповідь

a_max = 2,25 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 439,7 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 15)/(343 + 30)

f′ = 439,7 Hz

Відповідь

f′ = 439,7 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₄ = 11,52 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1,2/(0,25 × 10⁻³) = 2,88 mm

Смуга номер 4

y₄ = 4·2,88 = 11,52 mm

Відповідь

y₄ = 11,52 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics