Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 19 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 3,5 m/s². Скільки часу знадобиться поліцейському автомобілю, щоб наздогнати порушника? Знайдіть t.
Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 10 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 21 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?
Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 9,5 m/s і зупиняється, пройшовши 92 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.
Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 15° зі швидкістю 5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?
М’яч кидають під кутом 65° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.
М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 35 m/s під кутом 50° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 23 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.
Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 80 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість vmax, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.
Кульку масою 0,6 kg на нитці завдовжки 0,7 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 6,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.
Кулька 1 kg висить на легкій нитці завдовжки 3 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 30° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.
Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 4000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.
Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 12 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′2 другого візка після зіткнення.
М’яч масою 0,2 kg ударяється об стіну зі швидкістю 24 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 18 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.
Вантаж масою 3,4 kg на пружині з k = 20 N/m відтягують на 8 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 0,75 s (зі знаком).
Куля масою 12 g, що летить зі швидкістю 450 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 3,5 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 1100 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.
Світло поширюється в середовищі «алмаз» (n = 2,42) до плоскої межі із середовищем «повітря» (n = 1,00). Знайдіть критичний кут θc, за яким воно повністю відбивається.
Світло з довжиною хвилі 633 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,2 мм. Знайдіть кут θ2 темної смуги номер 2 відносно напрямку прямого проходження.
Відповідь: t = 10,86 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 38 m/s.
Відповідь: y = 8,888 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Напрямок угору додатний, земля — y = 0.
Відповідь: μ = 0,05
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Відповідь: d = 2,323 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.
Відповідь: H = 37,68 m
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: vy² = 2gH.
Відповідь: x = 99 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Більший корінь: м’яч опускається.
Відповідь: vmax = 19,81 m/s
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
Відповідь: T = 42,1 N
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
До центра (угору) — додатний напрямок.
Відповідь: T = 12,44 N
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.
Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 12,44 N.
Відповідь: v = 7,412 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.
Відповідь: v′2 = 13,33 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.
Відповідь: J = 8,4 N·s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Відповідь: v = −0,1881 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: A = 8,688 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: θc = 24,41 °
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
Відповідь: θ2 = 0,3627 °
Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics