Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 54 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 6 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 54 km/ht_r = 1 sa = −6 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 4,5 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 4,5 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 20 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 30° над горизонталлю із силою 110 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 20 kgF = 110 Nθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 1,5 kg на похилій площині з кутом 25° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 4,5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 4,5 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 14 m/s під кутом 70° над горизонталлю в бік стіни на відстані 10 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 14 m/sθ = 70°x = 10 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 23 m/s під кутом 60° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 30 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 23 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 3,9 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 3,9 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 26,6 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 9,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 5 kgh = 26,6 mR = 9,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 1 kg висить на легкій нитці завдовжки 2 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 70° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 1 kgL = 2 mθ = 70°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 500 N/m біля підніжжя схилу 35° стискають на 8 cm бруском масою 0,5 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,2. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 0,5 kgk = 500 N/mx = 8 cmθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 2,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 21 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 2,5 kgh = 21 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 10° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 1 kgL = 1 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,3 kg на пружині з k = 470 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 14 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 5 cm від положення рівноваги.

m = 3,3 kgk = 470 N/mA = 14 cmx = 5 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,8 kg на пружині з k = 190 N/m відтягують на 18 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 0,8 kgk = 190 N/mA = 18 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 25 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 15 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 25 cmf = 15 cm

d_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 30 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 20 см. Знайдіть відстань до зображення d_i: додатну для зображення перед дзеркалом (дійсного) і від’ємну для зображення за ним (уявного).

d_o = 30 cmR = 20 cm

d_i = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 33,75 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 15·1 = 15 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·6) = 18,75 m

Разом

d = 15 + 18,75 = 33,75 m

Відповідь

d = 33,75 m

2.Кінематика

Відповідь: d = 88,29 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(4,5 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1544 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1544))/(2·4,905) = 4,243 s

Глибина

d = ½·9,81·4,243² = 88,29 m

Відповідь

d = 88,29 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,057 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 110·sin 30° = 141,2 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 95,26 − 14,12

a = 81,14/20 = 4,057 m/s²

Відповідь

a = 4,057 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 17,7 N

Сили вздовж нитки

m₂·g = 44,15 N

m₁·g·sin θ = 6,219 N

μ·m₁·g·cos θ = 2,667 N

Прискорення системи

a = (44,15 − 6,219 − 2,667)/6 = 5,876 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 4,5·(9,81 − 5,876) = 17,7 N

Відповідь

T = 17,7 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 6,081 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 14·cos 70° = 4,788 m/s

t = x/v_x = 10/4,788 = 2,088 s

Висота в цей момент

y = 13,16·2,088 − ½·9,81·2,088² = 6,081 m

Відповідь

y = 6,081 m

Біля стіни м’яч уже падає.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 69,88 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 23·cos 60° = 11,5 m/s

v_y0 = 23·sin 60° = 19,92 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(19,92² + 2·9,81·30) = 31,39 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 31,39/11,5 → α = 69,88°

Відповідь

α = 69,88°

7.Рух по колу

Відповідь: n = 23,95 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·3,9)) = 2,508 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 23,95 rpm

Відповідь

n = 23,95 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 29,43 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(26,6 − 2·9,5) = 149,1 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 5·149,1/9,5 − 49,05 = 29,43 N

Відповідь

N_top = 29,43 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 22,72 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 70°) = 25,82 m²/s²

Сили внизу

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

T = mg + mv²/L = 9,81 + 1·25,82/2 = 22,72 N

Відповідь

T = 22,72 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 22,72 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 0,4424 m

Енергія пружини

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·500·0,08² = 1,6 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 1,6/(4,905·(0,5736 + 0,2·0,8192)) = 0,4424 m

Відповідь

d = 0,4424 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 509,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,21) = 2,03 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 2,5)·2,03/0,01 = 509,5 m/s

Відповідь

v = 509,5 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 55,14 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 10°) = 0,01519 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,01519) = 0,546 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,01·0,546/0,01 = 55,14 m/s

Відповідь

v = 55,14 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 1,561 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(470/3,3) = 11,93 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 11,93·√(0,14² − 0,05²) = 1,561 m/s

Відповідь

v = 1,561 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 3,078 J

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(190/0,8) = 15,41 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·190·0,18² = 3,078 J

Відповідь

E = 3,078 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = 37,5 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/25

d_i = 37,5 cm

Хід променів

дійсне, з іншого боку лінзи

Відповідь

d_i = 37,5 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = 15 cm

Фокусна відстань

f = R/2 = 10 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/30

d_i = 15 cm

Хід променів

дійсне зображення перед дзеркалом

Відповідь

d_i = 15 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics