Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 100 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,9 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 100 km/ht_r = 0,9 sa = −8 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 19 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 19 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 14 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 14 kgθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 2 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 28 m/s, і він має впасти на відстані 55 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 28 m/sR = 55 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 37 m/s під кутом 55° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 27 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 37 m/sθ = 55°h_roof = 27 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 70 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,6. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 70 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,5 kg на нитці завдовжки 1,2 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 3,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,5 kgr = 1,2 mv = 3,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1500 kg піднімається схилом 2° зі сталою швидкістю 72 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 300 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1500 kgθ = 2°F_r = 300 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,2). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 3 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 0,5 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 3 kgμ = 0,2d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 6 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 10 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 4 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 19 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 2 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 6 kgu = 10 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 19 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,1 kg ударяється об стіну зі швидкістю 11 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 11 m/s. Контакт триває 5 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,1 kgv_in = 11 m/sv_out = 11 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 2,8 kg на пружині з k = 310 N/m відтягують на 12 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1,15 s (зі знаком).

m = 2,8 kgk = 310 N/mA = 12 cmt = 1,15 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,8 kg на пружині з k = 30 N/m відтягують на 8 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 1,8 kgk = 30 N/mA = 8 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 8 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 25 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 8 cmf = 25 cm

m =

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,62 і оболонку з n₂ = 1,54. Знайдіть його числову апертуру NA.

n₁ = 1,62n₂ = 1,54

NA =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 73,23 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 27,78·0,9 = 25 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·8) = 48,23 m

Разом

d = 25 + 48,23 = 73,23 m

Відповідь

d = 73,23 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,735 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−20 = 19·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 19·t − 20 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (19 + √(19² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,735 s

Відповідь

t = 4,735 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,479 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,3·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2719) = 1,479 m/s²

Відповідь

a = 1,479 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,204 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0)/3,5 = 4,204 m/s²

Відповідь

a = 4,204 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 21,74 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·55/28² = 0,6882

Кут

2θ = 43,49° → θ = 21,74°

Відповідь

θ = 21,74°

Інший розв’язок 90° − θ = 68,26°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 108,2 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 21,22 m/s, v_y = 30,31 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

27 = 30,31·t − 4,905·t²

t = (30,31 + √(30,31² − 2·9,81·27))/9,81 = 5,1 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 21,22·5,1 = 108,2 m

Відповідь

x = 108,2 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 20,3 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·70) = 20,3 m/s

Відповідь

v_max = 20,3 m/s (73,07 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 10,01 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,5·9,81 + 0,5·3,5²/1,2 = 4,905 + 5,104 = 10,01 N

Відповідь

T = 10,01 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 16,27 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 2° = 513,5 N

F = 513,5 + 300 = 813,5 N

Потужність

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 813,5·20 = 16271 W = 16,27 kW

Відповідь

P = 16,27 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 0,8687 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 29,43·0,5 = 14,71 J

μ·m₁g·d = 0,2·98,1·0,5 = 9,81 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 4,905 → v = √(2·4,905/13) = 0,8687 m/s

Відповідь

v = 0,8687 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 6·10 = 60 kg·m/s

Імпульс після удару

60 = 4·19 + 2·v′₂

v′₂ = (60 − 76)/2 = −8 m/s

Відповідь

v′₂ = −8 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 2,2 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,1·(11 + 11) = 2,2 N·s

Відповідь

J = 2,2 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = 10,72 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(310/2,8) = 10,52 rad/s

ω·t = 10,52·1,15 = 12,1 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(12,1) = 10,72 cm

Відповідь

x = 10,72 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 1,333 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(30/1,8) = 4,082 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,08·4,082² = 1,333 m/s²

Відповідь

a_max = 1,333 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = 1,471

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/8

d_i = −11,76 cm

Збільшення

m = −d_i/d_o = −(−11,76)/8 = 1,471

Відповідь

m = 1,471

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: NA = 0,5028

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,54/1,62 = 0,9506 → θc = 71,92°

Числова апертура

NA = √(1,62² − 1,54²) = 0,5028

Відповідь

NA = 0,5028

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics