Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 3,5 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1000 m.

v₀ = 0a = 3,5 m/s²s = 1000 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 16 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 16 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 4,5 kg і 4 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 4 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 7 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 30 m/s під кутом 20° над горизонталлю в бік стіни на відстані 24 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 30 m/sθ = 20°x = 24 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 24 m/s під кутом 65° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 6 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 24 m/sθ = 65°h_roof = 6 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 25 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,6. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 25 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,9 kg на нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 6 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,9 kgr = 1,5 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 70 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 70 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,1). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 2 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 1 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 2 kgμ = 0,1d = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 4 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 40 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 3 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 81 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 1 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 4 kgu = 40 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 81 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,55 kg ударяється об стіну зі швидкістю 20 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 7 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,55 kgv_in = 20 m/sv_out = 7 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,3 m має період 1,44 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,3 mT = 1,44 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,9 kg на пружині з k = 170 N/m відтягують на 7 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 1,9 kgk = 170 N/mA = 7 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Спостерігач рухається зі швидкістю 5 м/с від нерухомого джерела частотою 600 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 600 нм падає під прямим кутом на ґратку з 600 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₁ максимуму порядку 1.

N = 600 mm⁻¹λ = 600 nmm = 1

θ₁ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 83,67 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·3,5·1000) = 83,67 m/s

Відповідь

v = 83,67 m/s

(301,2 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 33,05 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9,81) = 13,05 m

Висота над землею

h_max = 20 + 13,05 = 33,05 m

Відповідь

h_max = 33,05 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: T = 41,55 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (4,5 − 4)·9,81/(4,5 + 4) = 0,5771 m/s²

Сила натягу з рівняння для легшого вантажу

T − m₂·g = m₂·a → T = 4·(9,81 + 0,5771) = 41,55 N

Відповідь

T = 41,55 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,731 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0)/8,5 = 1,731 m/s²

Відповідь

a = 1,731 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 5,18 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 30·cos 20° = 28,19 m/s

t = x/v_x = 24/28,19 = 0,8513 s

Висота в цей момент

y = 10,26·0,8513 − ½·9,81·0,8513² = 5,18 m

Відповідь

y = 5,18 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 41,98 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 10,14 m/s, v_y = 21,75 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

6 = 21,75·t − 4,905·t²

t = (21,75 + √(21,75² − 2·9,81·6))/9,81 = 4,139 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 10,14·4,139 = 41,98 m

Відповідь

x = 41,98 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 12,13 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·25) = 12,13 m/s

Відповідь

v_max = 12,13 m/s (43,67 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 30,43 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,9·9,81 + 0,9·6²/1,5 = 8,829 + 21,6 = 30,43 N

Відповідь

T = 30,43 N

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 27,53 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 70/3,6 = 19,44 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19,44²/(2·0,7·9,81) = 27,53 m

Відповідь

d = 27,53 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 1,279 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 19,62·1 = 19,62 J

μ·m₁g·d = 0,1·98,1·1 = 9,81 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 9,81 → v = √(2·9,81/12) = 1,279 m/s

Відповідь

v = 1,279 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −83 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 4·40 = 160 kg·m/s

Імпульс після удару

160 = 3·81 + 1·v′₂

v′₂ = (160 − 243)/1 = −83 m/s

Відповідь

v′₂ = −83 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 594 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,55·(7 + 20) = 14,85 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 14,85/0,025 = 594 N

Відповідь

F_avg = 594 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 24,75 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,3/1,44² = 24,75 m/s²

Відповідь

g = 24,75 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,6621 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(170/1,9) = 9,459 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,07·9,459 = 0,6621 m/s

Відповідь

v_max = 0,6621 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 591,3 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 5)/(343 + 0)

f′ = 591,3 Hz

Відповідь

f′ = 591,3 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₁ = 21,1 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/600 mm = 1,667 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 1·600 × 10⁻⁹/(1,667 × 10⁻⁶) = 0,36

θ = 21,1°

Відповідь

θ₁ = 21,1°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics