Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 250 km/h, а довжина злітної смуги 1700 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1700 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 18 m/s з краю даху на висоті 5 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 12 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 12 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 3 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 36 m/s під кутом 40° над горизонталлю в бік стіни на відстані 39 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 36 m/sθ = 40°x = 39 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 28 m/s під кутом 55° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 12 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 28 m/sθ = 55°h_roof = 12 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 30 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 30 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1 kg на легкій нитці завдовжки 1,1 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 9,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1 kgr = 1,1 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 5 kg висить на легкій нитці завдовжки 0,8 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 20° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 5 kgL = 0,8 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 4 mL = 3 mμ = 0,15k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 16 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 25 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 4 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 47 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 12 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 16 kgu = 25 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 47 m/sm₂ = 12 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,9 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 35° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 1,5 kgL = 1,9 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,8 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 190 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 8 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 3 cm від положення рівноваги.

k = 190 N/mA = 8 cmx = 3 cm

K = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: довжина 0,5 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₇ для моди «гармоніка номер 7».

v = 343 m/sn = 7L = 0,5 m

f₇ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 589 нм падає на дві щілини на відстані 0,25 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 3 м. Знайдіть відстань y₅ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 5.

λ = 589 nmd = 0,25 mmL = 3 mm = 5

y₅ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 1,418 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 250/3,6 = 69,44 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 69,44²/(2·1700) = 1,418 m/s²

Відповідь

a = 1,418 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,929 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−5 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 5 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·5))/9,81 = 3,929 s

Відповідь

t = 3,929 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,146 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0) = 4,146 m/s²

Відповідь

a = 4,146 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,282 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/6,5 = 5,282 m/s²

Відповідь

a = 5,282 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 22,92 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 36·cos 40° = 27,58 m/s

t = x/v_x = 39/27,58 = 1,414 s

Висота в цей момент

y = 23,14·1,414 − ½·9,81·1,414² = 22,92 m

Відповідь

y = 22,92 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 65,46 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 16,06 m/s, v_y = 22,94 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

12 = 22,94·t − 4,905·t²

t = (22,94 + √(22,94² − 2·9,81·12))/9,81 = 4,076 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 16,06·4,076 = 65,46 m

Відповідь

x = 65,46 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 12,13 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·30) = 12,13 m/s

Відповідь

v_max = 12,13 m/s (43,67 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 33 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·1,1 = 47,09 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·47,09/1,1 − 1·9,81 = 33 N

Відповідь

T_top = 33 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 54,97 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 20°) = 0,9466 m²/s²

Сили внизу

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·0,9466/0,8 = 54,97 N

Відповідь

T = 54,97 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 54,97 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 26,39 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(4 − 0,15·3) = 87,06 J

Найбільше стиснення

½kx² = 87,06 → x = √(2·87,06/2500) = 0,2639 m = 26,39 cm

Відповідь

x = 26,39 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 17,67 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 16·25 = 400 kg·m/s

Імпульс після удару

400 = 4·47 + 12·v′₂

v′₂ = (400 − 188)/12 = 17,67 m/s

Відповідь

v′₂ = 17,67 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 392,1 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,9·(1 − cos 35°) = 0,3436 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,3436) = 2,596 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,51·2,596/0,01 = 392,1 m/s

Відповідь

v = 392,1 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 1,794 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,8/9,81) = 1,794 s

Відповідь

T = 1,794 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: K = 0,5225 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·190·0,08² = 0,608 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·190·0,03² = 0,0855 J

Кінетична енергія

K = 0,608 − 0,0855 = 0,5225 J

Відповідь

K = 0,5225 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₇ = 1201 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 4L/n = 4·0,5/7 = 0,2857 m

Частота

f = v/λ = 343/0,2857 = 1201 Hz

Відповідь

f₇ = 1201 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₅ = 35,34 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·3/(0,25 × 10⁻³) = 7,068 mm

Смуга номер 5

y₅ = 5·7,068 = 35,34 mm

Відповідь

y₅ = 35,34 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics