Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 4 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1700 m.

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 1700 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 16 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 11,5 m/s і зупиняється, пройшовши 45 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 11,5 m/sd = 45 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 32 m/s, і він має впасти на відстані 85 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 32 m/sR = 85 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з вершини скелі висотою 20 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 12 m/sθ = 25°h = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,2 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 25° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кульки.

L = 1,2 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 9 m вздовж площини.

θ = 20°μ = 0,1d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 3 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,2). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 2 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 2 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgμ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 0,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 5 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,4 kg ударяється об стіну зі швидкістю 8 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 4 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,4 kgv_in = 8 m/sv_out = 4 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 280 N/m відтягують на 15 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1,4 s (зі знаком).

m = 1,1 kgk = 280 N/mA = 15 cmt = 1,4 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 3,5 s і амплітудою 10 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 10 cm до зміщення 6 cm?

T = 3,5 sA = 10 cmx = 6 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,8 м, хвилі поширюються зі швидкістю 100 м/с. Знайдіть частоту f₃ для моди «гармоніка номер 3».

v = 100 m/sn = 3L = 0,8 m

f₃ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Паркувальний датчик у стані спокою посилає ультразвук 25 кГц до автомобіля, що віддаляється зі швидкістю 10 м/с. Знайдіть частоту f″ відлуння, прийнятого датчиком (швидкість звуку 343 м/с).

f = 25 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 116,6 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·4·1700) = 116,6 m/s

Відповідь

v = 116,6 m/s

(419,8 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,799 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,799 s

Відповідь

t = 3,799 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,1498

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 11,5²/(2·45) = 1,469 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,469/9,81 = 0,1498

Відповідь

μ = 0,1498

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 7,007 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 0)/3,5 = 2,803 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2,5·2,803 + 0 = 7,007 N

Відповідь

T = 7,007 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 27,26 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·85/32² = 0,8143

Кут

2θ = 54,52° → θ = 27,26°

Відповідь

θ = 27,26°

Інший розв’язок 90° − θ = 62,74°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 2,601 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 25° = 10,88 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 25° = 5,071 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 20 + 5,071·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5,071 + √(25,72 + 392,4))/9,81 = 2,601 s

Відповідь

t = 2,601 s

7.Рух по колу

Відповідь: v = 1,523 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,2·sin 25° = 0,5071 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,5071·9,81·tan 25°) = 1,523 m/s

Відповідь

v = 1,523 m/s

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 3,571 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

Відповідь

v_min = 3,571 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,618 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·9·(0,342 − 0,1·0,9397)) = 6,618 m/s

Відповідь

v = 6,618 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 3,315 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 19,62·2 = 39,24 J

μ·m₁g·d = 0,2·29,43·2 = 11,77 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 27,47 → v = √(2·27,47/5) = 3,315 m/s

Відповідь

v = 3,315 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 5,455 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (5 − 0,5)/(5 + 0,5)·3 = 2,455 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 0,5)·3 = 5,455 m/s

Відповідь

v′₂ = 5,455 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 240 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,4·(4 + 8) = 4,8 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 4,8/0,02 = 240 N

Відповідь

F_avg = 240 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = −14,12 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(280/1,1) = 15,95 rad/s

ω·t = 15,95·1,4 = 22,34 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 15·cos(22,34) = −14,12 cm

Відповідь

x = −14,12 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,5165 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/3,5 = 1,795 rad/s

Виразіть час

0,6 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,6) = 0,9273 rad

t = 0,9273/1,795 = 0,5165 s

Відповідь

t = 0,5165 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₃ = 187,5 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,8/3 = 0,5333 m

Частота

f = v/λ = 100/0,5333 = 187,5 Hz

Відповідь

f₃ = 187,5 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f″ = 23584 Hz

Частота біля автомобіля

f′ = 25000·(343 − 10)/343 = 24271 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 + 10) = 23584 Hz

Відповідь

f″ = 23584 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics