Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 3,25 m/s². Знайдіть його швидкість v через 900 m.

v₀ = 0a = 3,25 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1,5 m/s² протягом 4 s, потім їде зі сталою швидкістю 26 s і нарешті гальмує з прискоренням 2,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 26 sa₃ = −2,5 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 6 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 6 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5,5 kg на похилій площині з кутом 25° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 4,5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 4,5 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 28 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 24 m/s під кутом 45° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 24 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 70 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 70 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Невеликий візок відпускають без початкової швидкості на трасі без тертя, і він в’їжджає у вертикальну петлю радіусом 6,5 m. З якої мінімальної висоти h_min над нижньою точкою петлі він має стартувати, щоб утриматися на трасі у верхній точці петлі?

R = 6,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2 kg ковзає 18 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,35. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2 kgθ = 45°μ = 0,35d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 10 kgh = 1 mL = 1 mμ = 0,2k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1000 kg, що рухається зі швидкістю 14 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1900 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 1000 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 5 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,6 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 10° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 5 gM = 4 kgL = 0,6 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,9 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,8 kg на пружині з k = 340 N/m відтягують на 10 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,8 kgk = 340 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 440 Гц, що рухається зі швидкістю 20 м/с, і спостерігач, що рухається зі швидкістю 10 м/с, наближаються один до одного. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 500 нм падає на дві щілини на відстані 0,1 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 2 м. Знайдіть відстань y₁ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 1.

λ = 500 nmd = 0,1 mmL = 2 mm = 1

y₁ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 76,49 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·3,25·900) = 76,49 m/s

Відповідь

v = 76,49 m/s

(275,3 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: s = 175,2 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1,5·4 = 6 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·1,5·4² = 12 m

s₂ = 6·26 = 156 m

s₃ = 6²/(2·2,5) = 7,2 m

Повна відстань

s = 12 + 156 + 7,2 = 175,2 m

Відповідь

s = 175,2 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,812 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,15·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1359) = 2,812 m/s²

Відповідь

a = 2,812 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,401 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж нитки

m₂·g = 44,15 N

m₁·g·sin θ = 22,8 N

μ·m₁·g·cos θ = 7,335 N

Прискорення системи

a = (44,15 − 22,8 − 7,335)/10 = 1,401 m/s²

Відповідь

a = 1,401 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 26,81 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 55° = 16,06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 55° = 22,94 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 22,94²/(2·9,81) = 26,81 m

Відповідь

H = 26,81 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 54,68 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 24·sin 45° = 16,97 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 16,97²/(2·9,81) = 14,68 m

Висота над землею

H = 40 + 14,68 = 54,68 m

Відповідь

H = 54,68 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 21,92 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·70) = 21,92 m/s

Відповідь

v_max = 21,92 m/s (78,93 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: h_min = 16,25 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Умова у верхній точці

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон збереження енергії

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·6,5 = 16,25 m

Відповідь

h_min = 16,25 m

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 87,4 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 19,62·0,7071 = 13,87 N

F = μN = 0,35·13,87 = 4,856 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 4,856·18 = 87,4 J

Відповідь

W_f = 87,4 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 25,06 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 98,1·(1 − 0,2·1) = 78,48 J

Найбільше стиснення

½kx² = 78,48 → x = √(2·78,48/2500) = 0,2506 m = 25,06 cm

Відповідь

x = 25,06 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 65,52 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·14/2900 = 4,828 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1000·14² = 98000 J

K_after = ½·2900·4,828² = 33793 J

Втрачена частка

ΔK/K = 64207/98000 = 65,52 %

Відповідь

ΔK/K = 65,52 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 338,7 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,6·(1 − cos 10°) = 0,009115 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,009115) = 0,4229 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 4,005·0,4229/0,005 = 338,7 m/s

Відповідь

v = 338,7 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 2,09 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,9/2π)² = 2,09 m

Відповідь

L = 2,09 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 12,14 m/s²

Кутова частота

ω = √(340/2,8) = 11,02 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,1·11,02² = 12,14 m/s²

Відповідь

a_max = 12,14 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 480,9 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 10)/(343 − 20)

f′ = 480,9 Hz

Відповідь

f′ = 480,9 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₁ = 10 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·2/(0,1 × 10⁻³) = 10 mm

Смуга номер 1

y₁ = 1·10 = 10 mm

Відповідь

y₁ = 10 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics