Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 100 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 14 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 14 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 5 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 20° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 5 kgθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 10 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 10 kgm₂ = 4 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 15° над горизонталлю, і він падає на відстані 65 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 15°R = 65 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 5 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 19 m/sθ = 15°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 100 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 100 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 110 m має нахил полотна 8°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 110 mθ = 8°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 4 kg ковзає 19 m похилою площиною під кутом 40° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,3. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 4 kgθ = 40°μ = 0,3d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 4000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 0,5 kgh = 2 mL = 3 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 2,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 4 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 2,5 kgh = 4 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,25 kg ударяється об стіну зі швидкістю 22 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 11 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,25 kgv_in = 22 m/sv_out = 11 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,9 m має період 6,8 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,9 mT = 6,8 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 80 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 16 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 4 cm від положення рівноваги.

k = 80 N/mA = 16 cmx = 4 cm

K = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло всередині прозорого блока повністю відбивається на межі із середовищем «етанол» (n = 1,36) для будь-якого кута падіння понад 42°. Знайдіть показник заломлення n₁ блока.

θ_c = 42°n₂ = 1,36

n₁ =

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,55 і оболонку з n₂ = 1,45. Знайдіть найбільший кут θ_a до осі волокна, під яким світло з повітря може увійти в торець волокна й усе одно направлятися повним внутрішнім відбиттям.

n₁ = 1,55n₂ = 1,45n₀ = 1,00

θ_a = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 70,15 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·5,5) = 70,15 m

Відповідь

s = 70,15 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,446 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 14·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 14·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (14 + √(14² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,446 s

Відповідь

t = 3,446 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 30,6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 16,78 + 13,83 = 30,6 N

Відповідь

F = 30,6 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,051 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 24,53)/14 = 1,051 m/s²

Відповідь

a = 1,051 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 35,71 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·65/sin 30°) = 35,71 m/s

Відповідь

v₀ = 35,71 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 29,89 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 15° = 18,35 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 15° = 4,918 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 5 + 4,918·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4,918 + √(24,18 + 98,1))/9,81 = 1,629 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 18,35·1,629 = 29,89 m

Відповідь

x = 29,89 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 17,16 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·100) = 17,16 m/s

Відповідь

v_max = 17,16 m/s (61,76 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 16,23 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(110·9,81·0,2382/0,9764) = 16,23 m/s

Відповідь

v_max = 16,23 m/s

(58,41 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 171,3 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 39,24·0,766 = 30,06 N

F = μN = 0,3·30,06 = 9,018 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 9,018·19 = 171,3 J

Відповідь

W_f = 171,3 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,646 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(2 − 0,3·3) = 5,396 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,1) = 4,646 m/s

Відповідь

v = 4,646 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 222,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,04) = 0,8859 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 2,5)·0,8859/0,01 = 222,4 m/s

Відповідь

v = 222,4 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 8,25 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,25·(11 + 22) = 8,25 N·s

Відповідь

J = 8,25 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 1,622 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,9/6,8² = 1,622 m/s²

Відповідь

g = 1,622 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: K = 0,96 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·80·0,16² = 1,024 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·80·0,04² = 0,064 J

Кінетична енергія

K = 1,024 − 0,064 = 0,96 J

Відповідь

K = 0,96 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: n₁ = 2,032

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Показник заломлення блока

n₁ = n₂/sin θc = 1,36/0,6691 = 2,032

Відповідь

n₁ = 2,032

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_a = 33,21 °

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,45/1,55 = 0,9355 → θc = 69,31°

Числова апертура

NA = √(1,55² − 1,45²) = 0,5477

Кут прийому

θ_a = arcsin(0,5477) = 33,21°

Відповідь

θ_a = 33,21°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics